[論文レビュー] Hardy spaces associated with Schrodinger operators on the Heisenberg group

Chin-Cheng Lin, Heping Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト群上のシュレーディンガー作用素 $L = -\Delta_{\mathbb{H}^n} + V$ に関連する新しいハーディー空間 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ を、半群 $\{e^{-sL}\}_{s>0}$ の最大函数を用いて定義する。$H^1_L(\mathbb{H}^n)$ に対して原子的分解を確立し、リーマン変換 $R^L_j = X_j L^{-1/2}$ の $L^1$-有界性によってその空間が特徴付けられることを証明する。これは、ユークリッド空間における結果を非ユークリッド的設定であるヒルベルト群へと拡張するものである。

ABSTRACT

Let $L= -Δ_{\mathbb{H}^n}+V$ be a Schrödinger operator on the Heisenberg group $\mathbb{H}^n$, where $Δ_{\mathbb{H}^n}$ is the sub-Laplacian and the nonnegative potential $V$ belongs to the reverse Hölder class $B_{\frac{Q}{2}}$ and $Q$ is the homogeneous dimension of $\mathbb{H}^n$. The Riesz transforms associated with the Schrödinger operator $L$ are bounded from $L^1(\mathbb{H}^n)$ to $L^{1,\infty}(\mathbb{H}^n)$. The $L^1$ integrability of the Riesz transforms associated with $L$ characterizes a certain Hardy type space denoted by $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ which is larger than the usual Hardy space $H^1(\mathbb{H}^n)$. We define $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ in terms of the maximal function with respect to the semigroup $\big \{e^{-s L}:\; s>0 \big\}$, and give the atomic decomposition of $H^1_L(\mathbb{H}^n)$. As an application of the atomic decomposition theorem, we prove that $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ can be characterized by the Riesz transforms associated with $L$. All results hold for stratified groups as well.

研究の動機と目的

• ヒルベルト群上のシュレーディンガー作用素に関連する新しいハーディー空間 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ を定義し、特徴付けること。
• $1 < q \leq \infty$ の $H^{1,q}_L$-原子を用いて $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ の原子的分解を確立すること。
• 作用素 $L$ に関連するリーマン変換 $R^L_j$ が $L^1$-有界性の意味で $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ を特徴付けることを証明すること。
• 同じ枠組みを用いて一般のストラティファイド群へと理論を拡張すること。

提案手法

• 最大函数 $M^L f(x) = \sup_{s>0} |e^{-sL}f(x)|$ を用いて $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ を定義する。
• $H^{1,q}_L$-原子を、球内に台を持つもの、$L^q$-ノルムの制御、および $r < \rho(x_0)$ のときのキャンセルレーションを満たすように構成する。
• 半群 $e^{-sL}$ およびリーマン変換 $R^L_j$ のカーネル推定を用いて、弱型 $(1,1)$ 界を確立する。
• 関数を $f = \tilde{f} + (f - \tilde{f})$ の形に分解することで、$H^1_L$ を局所的ハーディー空間 $h^1(\mathbb{H}^n)$ と関連付ける。
• クリストとゲラーの結果を応用し、ストラティファイド群上での $H^1$ のリーマン変換による特徴付けを適用する。
• $R^L_j$ の弱型 $(1,1)$ 有界性を証明し、$H^1_L$ から $L^1$ への有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー作用素のヒルベルト群上におけるハーディー空間 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ を、半群最大函数を用いてどのように定義できるか。
• RQ2 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ の原子的分解は何か。また、古典的原子的分解とはどのように異なるか。
• RQ3 $L$ に関連するリーマン変換 $R^L_j$ が、$L^1$-有界性の意味で $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ を特徴付けることができるか。
• RQ4 $Q/2 \leq q < Q$ の範囲で、$R^L_j$ の $L^p$-有界性が成り立つ $p$ の範囲は、鋭いものか。
• RQ5 これらの結果は、どの程度一般のストラティファイド群へと拡張可能か。

主な発見

• ハーディー空間 $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ は、$L^1(\mathbb{H}^n)$ 関数の集合として定義され、その最大函数 $M^L f$ が $L^1(\mathbb{H}^n)$ に属するものであり、ノルムは $\|f\|_{H^1_L} = \|M^L f\|_{L^1}$ で与えられる。
• $H^1_L(\mathbb{H}^n)$ の原子的分解は、$r < \rho(x_0)$ のときのキャンセルレーションを満たす $H^{1,q}_L$-原子を用いて確立され、$\|f\|_{H^1_L} \sim \inf \sum_j |\lambda_j|$ が原子的分解の和に関して成り立つ。
• リーマン変換 $R^L_j$ は $L^1(\mathbb{H}^n)$ から $L^{1,\infty}(\mathbb{H}^n)$ に有界であり、$f \in H^1_L(\mathbb{H}^n)$ であることと、すべての $j$ に対して $f \in L^1(\mathbb{H}^n)$ かつ $R^L_j f \in L^1(\mathbb{H}^n)$ であることは同値である。
• 特徴付け $\|f\|_{H^1_L} \sim \|f\|_{L^1} + \sum_{j=1}^{2n} \|R^L_j f\|_{L^1}$ が成り立ち、$H^1_L(\mathbb{H}^n)$ のリーマン変換による特徴付けが確認される。
• $R^L_j$ の $L^p$-有界性の $p$ の範囲は、論文内の反例によって鋭いことが示された。
• すべての結果は、カーネル推定および関数計算がその設定で成り立つことから、同じ議論を用いて一般のストラティファイド群へと拡張可能である。