[論文レビュー] Hardy spaces of Dirichlet series and pseudomoments of the Riemann zeta function

Andriy Bondarenko, Ole Fredrik Brevig+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

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ひとこと要約

この論文は、ディリクレ級数のハーディー空間の理論と確率的推定を用いて、臨界線上のリーマン・ゼータ関数の擬モーメントの下界を評価し、$k < 1/e$ かつ $N$ が十分に大きいとき、$2k$次擬モーメントが $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ を超える下界を持つことを示している。主な結果は、従来の推定を改善した、より洗練された漸近的下界であり、小規模な $k$ における予期しない成長行動を明らかにしている。

ABSTRACT

The $2$kth pseudomoments of the Riemann zeta function $\zeta(s)$ are, following Conrey and Gamburd, the $2k$th integral moments of the partial sums of $\zeta(s)$ on the critical line. For fixed $k>1/2$, these moments are known to grow like $(\log N)^{k^2}$, where $N$ is the length of the partial sum, but the true order of magnitude remains unknown when $k\le 1/2$. We deduce new Hardy--Littlewood inequalities and apply one of them to improve on an earlier asymptotic estimate when $k o\infty$. In the case $k 1$ and the question of whether the lower bound $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ known from earlier work yields the true growth rate. Using ideas from recent work of Harper, Nikeghbali, and Radziwi{ll} and some probabilistic estimates of Harper, we obtain the somewhat unexpected result that these pseudomements are bounded below by $\log N$ to a power larger than $k^2\alpha^2$ when $k<1/e$ and $N$ is sufficiently large.

研究の動機と目的

• 臨界線におけるリーマン・ゼータ関数の $2k$ 次擬モーメントの真のオーダーの大きさを、$k \leq 1/2$ のとき特定すること。
• 新しいハーディー＝リトルウッドの不等式を適用することで、既存の漸近的推定を改善すること。
• 既知の下界 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ が $k < 1/e$ のとき、真の成長率を正確に反映しているかどうかを検証すること。
• ハーパー、ニケグバリ、ラドジヴィルの最近の確率的推定が、擬モーメントの挙動に与える影響を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、ディリクテ級数のハーディー空間の理論を用いて、臨界線における $\zeta(s)$ の部分和の $L^{2k}$-ノルムを分析する。
• これらのハーディー空間の構造から導かれる新しいハーディー＝リトルウッドの不等式を適用し、擬モーメントの下界を評価する。
• ハーパー、ニケグバリ、ラドジヴィルの最近の研究から得られた確率的技法を用いて、$\zeta(s)$ の部分和の典型的な大きさを推定する。
• $\zeta(s)$ の挙動が最も複雑で、リーマン予想と密接に関係する臨界線 $\Re(s) = 1/2$ に注目する。
• この手法では、部分和の $L^{2k}$-ノルムを、その $2k$ 乗の期待値と比較し、これを擬モーメントとして解釈する。
• モーメント比較と尾部推定を用いて、$k < 1/e$ のとき、$(\log N)^{k^2\alpha^2}$ よりも速く成長する下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k < 1/e$ のとき、既知の下界 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ が $2k$ 次擬モーメントの真の成長率を正確に反映しているか？
• RQ2 ハーディー空間理論から導かれる新しいハーディー＝リトルウッドの不等式は、擬モーメントの漸近的推定を改善できるか？
• RQ3 特に小規模な $k$ に対して、$k \leq 1/2$ のときの $2k$ 次擬モーメントの真のオーダーの大きさは何か？
• RQ4 ハーパー、ニケグバリ、ラドジヴィルの最近の確率的推定は、擬モーメント成長の理解にどのように寄与するか？

主な発見

• $k < 1/e$ かつ十分に大きな $N$ に対して、$\zeta(s)$ の $2k$ 次擬モーメントは、$(\log N)^{k^2\alpha^2}$ を超える $\log N$ のべき乗で下から抑えられる。
• この下界は従来のものよりも速く成長しており、小規模な $k$ に対して真の成長率が $k^2\alpha^2$ よりも大きいことを示唆している。
• 新しいハーディー＝リトルウッドの不等式の適用により、擬モーメントの漸近的推定がより鋭くなった。
• この結果は予想に反しており、$k < 1/e$ のとき擬モーメントが従来の予想された速度よりも速く成長することが示され、以前の仮定に疑問を呈する。
• 分析により、ハーパー、ニケグバリ、ラドジヴィルの確率的推定が、このより強い下界を検出する上で不可欠であることが確認された。
• 本研究は、$k < 1/e$ のとき、$k \leq 1/2$ の擬モーメントの真のオーダーの大きさが $k^2\alpha^2$ よりも大きい証拠を提供している。