[論文レビュー] Hardy spaces, Regularized BMO spaces and the boundedness of Calder\'on-Zygmund operators on non-homogeneous spaces

Anh Tuan Bui, Xuan Thinh Duong|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、測度の倍加性から非倍加性（非同次）測度への一般化により、非同次空間 $(X, \mu)$ 上でのCalderón-Zygmund作用素の有界性を確立する。非同次空間に適したCalderón-Zygmund分解を導入し、弱型$(1,1)$推定を証明し、Hardy空間の双対が正則化されたBMO空間であることを示し、Cotlar型不等式を用いたコンmutator作用素および最大作用素の有界性結果も得る。

ABSTRACT

One defines a non-homogeneous space $(X, \mu)$ as a metric space equipped with a non-doubling measure $\mu$ so that the volume of the ball with center $x$, radius $r$ has an upper bound of the form $r^n$ for some $n> 0$. The aim of this paper is to study the boundedness of a Calderon-Zygmund operator $T$ as well as the boundedness of certain related singular integrals associated with $T$ on various function spaces on $(X, \mu)$ such as the Hardy spaces, the $L^p$ spaces and the regularized BMO spaces. This article thus extends the work of X. Tolsa \cite{T1} on the non-homogeneous space $(\mathbb R^n, \mu)$ to the setting of a general non-homogeneous space $(X, \mu)$. While our framework is similar to that of \cite{H}, we are able to obtain quite a few properties similar to those of Calderon-Zygmund operators on doubling spaces, including the following for such an operator $T$: weak type $(1,1)$ estimate, boundedness from Hardy space into $L^1$, boundedness from $L^{\infty}$ into the regularized BMO and an interpolation theorem. We also prove that the dual space of the Hardy space is the regularized BMO space, obtain a Calderon-Zygmund decomposition on the non-homogeneous space $(X, \mu)$ and use this decomposition to show the boundedness of the maximal operators in the form of Cotlar inequality as well as the boundedness of commutators of Calderon-Zygmund operators and BMO functions.

研究の動機と目的

• 非同次（非同次）測度空間へのCalderón-Zygmund作用素理論の拡張。
• 非同次空間上でのHardy空間、$L^p$空間、正則化されたBMO空間への作用素の有界性の確立。
• 非同次空間上でのHardy空間と正則化されたBMO空間の双対性の証明。
• 非同次空間に適したCalderón-Zygmund分解の構築。
• 最大作用素 $T$ に関連するCotlar型不等式の導出およびBMO関数を含むコンmutatorの有界性の証明。

提案手法

• 測度の $r^n$ に比例する成長をもつ非同次空間に適したCalderón-Zygmund分解の適応。
• 分解を用いてCalderón-Zygmund作用素の弱型$(1,1)$推定を証明。
• 双対性と補間を用いて、Hardy空間から $L^1$ への有界性、$L^\infty$ から正則化されたBMO空間への有界性を確立。
• 分解を用いて、作用素 $T$ に関連する最大作用素に対するCotlar型不等式を導出。
• 分解と弱型推定を用いて、BMO関数 $b$ に対するコンmutator $[b, T]$ の有界性を証明。
• 多項式的成長を示す非倍加性測度の構造に依存し、Tolsa らの結果を一般化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同次設定下で、Calderón-Zygmund作用素はHardy空間および $L^p$ 空間上で有界であるか？
• RQ2 非同次空間上でのHardy空間の双対空間は正則化されたBMO空間か？
• RQ3 多項式的測度成長をもつ非同次空間に、Calderón-Zygmund分解を構成できるか？
• RQ4 この設定下で、作用素 $T$ に関連する最大作用素はCotlar型不等式を満たすか？
• RQ5 非同次空間上での $b$ がBMOに属するとき、コンmutator $[b, T]$ は有界か？

主な発見

• 非同次空間 $(X, \mu)$ 上でのHardy空間の双対空間は正則化されたBMO空間である。
• Calderón-Zygmund作用素は非同次空間上で弱型$(1,1)$である。
• 作用素 $T$ は非同次空間 $(X, \mu)$ 上でHardy空間 $H^1$ から $L^1$ への有界性をもつ。
• 作用素 $T$ は $L^\infty$ から正則化されたBMO空間への有界性をもつ。
• BMO関数 $b$ に対して、$1 < p < \infty$ で $L^p$ 上でのコンmutator $[b, T]$ は有界である。
• 非同次空間上にCalderón-Zygmund分解が存在し、これにより最大作用素に対するCotlar型不等式の証明が可能となる。