[論文レビュー] Hardy-Stein identities and square functions for semigroups

Rodrigo Bañuelos, Krzysztof Bogdan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ハートマン＝ウィンターワン条件を満たす対称的かつ純チープなリーヴィ過程に対して、ハーディー＝シュタイン恒等式を確立し、それらを用いて1 < p < ∞に対して内在的平方関数 ˜G(f) の両方向 Lp 有界性を証明する。これらの恒等式をバーグホルダー＝ガンディー不等式と組み合わせることで、リーヴィ過程から導かれるフーリエ乗数に対する鋭い Lp 界を獲得し、次元に依存しない定数を有する、マルティングール変換に基づかないアプローチを提示する。

ABSTRACT

We prove a Hardy-Stein type identity for the semigroups of symmetric, pure-jump L\'evy processes. Combined with the Burkholder-Gundy inequalities, it gives the $L^p$ two-way boundedness, for $1<p<\infty$, of the corresponding Littlewood-Paley square function. The square function yields a direct proof of the $L^p$ boundedness of Fourier multipliers obtained by transforms of martingales of L\'evy processes.

研究の動機と目的

• 非局所的設定における平方関数の Lp 有界性のための新しい解析的枠組みを構築すること。
• 1 < p < 2 において古典的平方関数 G(f) が Lp で有界でないという問題を回避するため、修正された内在的平方関数 ˜G(f) を導入すること。
• 対称的リーヴィ過程に関連するフーリエ乗数の Lp 有界性を、マルティングール変換に基づかない直接的証明で示すこと。
• 平方関数および乗数の Lp 評価を次元に依存しない形で確立し、古典的手法で用いられる点での比較を避けること。

提案手法

• ハートマン＝ウィンターワン条件を満たす対称的かつ純チープなリーヴィ過程に特化した新しいハーディー＝シュタイン恒等式を導出すること。
• 半群作用素の時間積分差分とリーヴィのジャンプ測度を用いて、内在的平方関数 ˜G(f) を定義すること。
• 半群に関連する確率過程によって駆動されるマルティングールにバーグホルダー＝ガンディー不等式を適用すること。
• 極化および双対性を用いて、上界を確立した後に Lp における下界を導出すること。
• L2 上での平方関数の等長性および双対ペアリングを用いて、フーリエ乗数を定義・分析すること。
• 半群と有界関数 φ(t,y) を含む積分ペアリングを用いてフーリエ乗数を表現し、明示的な記号計算を実施すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディー＝シュタイン恒等式は、拡散過程を超えて非局所的・純チープなリーヴィ過程へと拡張可能か？
• RQ2 なぜ非局所的設定において古典的平方関数 G(f) は 1 < p < 2 で Lp に有界でないのか？ そして、この問題はどのように是正できるか？
• RQ3 マルティングール変換のバーグホルダー不等式に依存せずに、フーリエ乗数の Lp 有界性を確立できるか？
• RQ4 内在的平方関数 ˜G(f) は非局所的作用素の Lp 空間を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 平方関数および乗数の Lp 界は次元に依存せずに一様に保たれるか？

主な発見

• 内在的平方関数 ˜G(f) はすべての 1 < p < ∞ に対して Lp に有界であり、提示された半群の Lp 空間の完全な特徴付けを提供する。
• 古典的平方関数 G(f) は 1 < p < 2 で有界でないことが、次元 d ≥ 2 における f(x) = |x|−(d+1)/21{|x|≤1} を用いた反例によって示された。
• 本稿では ˜G(f) に対して両方向 Lp 界を確立し、定数は p のみに依存し、次元 d には依存しない。
• 半群と有界関数 φ(t,y) を用いて構成されたフーリエ乗数は、Lp に有界であり、作用素ノルムは ∥φ∥∞ によって制御される。
• 乗数の記号は m(ξ) = 2∫Rd(1−cos(ξ·y))∫∞0e−2tψ(ξ)φ(t,y)dt ν(dy) として明示的に計算され、既知の結果を一般化する。
• 本アプローチにより、マルチンキエヴィッチ乗数やリーマン変換の差分など、既知の Lp 界が、マルティングール変換の不等式を用いずに回復される。