[論文レビュー] Harmonic Analysis and Gamma Functions on Symplectic Groups

Dihua Jiang, Zhilin Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$p$-進局所体上の対称形式群 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 及びその拡張 $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ に対して、ダブルイング法とグラスマンニアンにおけるコンパクト化を用いて、フーリエ作用素とラングランズの $\gamma$-関数および $L$-関数を実現する基本関数を構成する調和解析の新手法を開発する。主な結果は、シュワーツ空間内に一意に存在する $K$-不変基本関数が、フーリエ作用素の下で不変であり、そのゼータ積分が標準 $L$-関数を与えることである。

ABSTRACT

Over a $p$-adic local field $F$ of characteristic zero, we develop a new type of harmonic analysis on an extended symplectic group $G={\mathbb G}_m imes{\mathrm Sp}_{2n}$. It is associated to the Langlands $γ$-functions attached to any irreducible admissible representations $χ\otimesπ$ of $G(F)$ and the standard representation $ρ$ of the dual group $G^\vee({\mathbb C})$, and confirms a series of the conjectures in the local theory of the Braverman-Kazhdan proposal for the case under consideration. Meanwhile, we develop a new type of harmonic analysis on ${ m GL}_1(F)$, which is associated to a $γ$-function $β_ψ(χ_s)$ (a product of $n+1$ certain abelian $γ$-functions). Our work on ${ m GL}_1(F)$ plays an indispensable role in the development of our work on $G(F)$. These two types of harmonic analyses both specialize to the well-known local theory developed in Tate's thesis when $n=0$. The approach is to use the compactification of ${ m Sp}_{2n}$ in the Grassmannian variety of ${ m Sp}_{4n}$, with which we are able to utilize the well developed local theory of Piatetski-Shapiro and Rallis and many other works) on the doubling local zeta integrals for the standard $L$-functions of ${ m Sp}_{2n}$. The method can be viewed as an extension of the work of Godement-Jacquet for the standard $L$-function of ${ m GL}_n$ and is expected to work for all classical groups. We will consider the archimedean local theory and the global theory in our future work.

研究の動機と目的

• $p$-進体上の $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ における調和解析を新たに開発し、高ランク群へのタートの thesis の一般化を図ること。
• ゼータ積分およびフーリエ作用素を用いて、$\chi \otimes \pi$ のラングランズの $\gamma$-関数および標準 $L$-関数を実現すること。
• シンプレクティック群上の $L$-関数の局所理論におけるブレイヴァルマン＝カジダン予想を確認すること。
• ペイアテツキー＝シャピロ＝ラリスのダブルイング理論を用いて、ガウドゥエント＝ジャケット法を古典的群へ拡張すること。
• フーリエ作用素の下で不変であり、そのゼータ積分が標準 $L$-関数を与えるシュワーツ空間内の基本関数を構成すること。

提案手法

• $\mathrm{Sp}_{2n}$ を $\mathrm{Sp}_{4n}$ のグラスマンニアンにコンパクト化することで、ダブルイングゼータ積分と標準 $L$-関数との関係を確立する。
• $\mathrm{Sp}_{2n}$ におけるピアテツキー＝シャピロおよびラリスのダブルイングゼータ積分の局所理論を適用し、$\gamma$-関数および $L$-関数を定義する。
• $\mathrm{GL}_1(F)$ 上に新しい $\gamma$-関数 $\beta_\psi(\chi_s)$ を導入し、これは $n+1$ 個のアーベル的 $\gamma$-関数の積である。
• $\mathrm{Schwartz}$ 空間 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 上にフーリエ作用素 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$ を定義し、その作用素が補間作用素 $\mathrm{M}_{w_\Delta}^\dagger(s,\chi,\psi)$ と整合することを証明する。
• メリン逆変換公式および $K$-不変セクションの一意性を用いて、$\mathcal{S}_\rho(G)$ 内に基本関数 $\mathbb{L}_\rho$ を構成する。
• $\mathcal{S}^\pm_{\mathrm{pvs}}(F^\times)$ のパレイ＝ウィーナー定理を確立し、ゼータ積分の収束性および解析的性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 上の調和解析を構築し、ゼータ積分によって標準 $L$-関数を実現できるか？
• RQ2 $\mathrm{GL}_1(F)$ 上の $\gamma$-関数 $\beta_\psi(\chi_s)$ は、拡張群の調和解析において果たす役割は何か？
• RQ3 フーリエ作用素 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$ と補間作用素 $\mathrm{M}_{w_\Delta}^\dagger(s,\chi,\psi)$ は、$L$-関数の文脈でどのように作用し合うか？
• RQ4 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 内に、そのゼータ積分が標準 $L$-関数を与えるような $K$-不変基本関数 $\mathbb{L}_\rho$ を構成できるか？
• RQ5 基本関数 $\mathbb{L}_\rho$ は、フーリエ作用素 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$ の作用で不変であるか？

主な発見

• $K_G$-不変基本関数 $\mathbb{L}_\rho$ がシュワーツ空間 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 内に一意に存在し、ゼータ積分 $\mathcal{Z}(s, \mathbb{L}_\rho, \varphi_\circ)$ が標準 $L$-関数 $L(s, \chi \otimes \pi, \rho)$ に一致する。
• フーリエ作用素 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$ は基本関数 $\mathbb{L}_\rho$ を不変に保つ。すなわち $\mathcal{F}_{\rho,\psi}(\mathbb{L}_\rho) = \mathbb{L}_\rho$ であり、フーリエ変換の下での不変性が確認される。
• $\mathbb{L}_\rho$ の構成は、誘導表現 $\mathrm{I}^\dagger(s,\chi)$ 内に存在する唯一の $K_\Delta$-不変セクション $b_{2n}(s,\chi) f_{\chi_s}^\circ$ に依存しており、これはダブルイングゼータ積分によって $L$-関数に対応する。
• $\mathrm{GL}_1(F)$ 上の $\gamma$-関数 $\beta_\psi(\chi_s)$ は、$n+1$ 個のアーベル的 $\gamma$-関数の積として示され、ファイバー積分および補間作用素を用いて関数等式が確立される。
• 調和解析 $G = \mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ は $n = 0$ のときタートの thesis に特殊化され、古典的理論と整合性を保つ。
• 本手法はガウドゥエント＝ジャケット法を古典的群へ拡張し、同じコンパクト化およびダブルイングフレームワークを用いて、すべての古典的群へ一般化可能であると期待される。