[論文レビュー] Harmonic analysis of weighted $L^p$-algebras

Yulia Kuznetsova, Carine Molitor–Braun|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、多項式成長を示す局所コンパクトでコンパクト生成な群 $G$ 上の重み付き $L^p$-代数の調和解析的性質を調査する。$L^p(G, \omega)$ がバナッハ $*$-代数をなすための条件を確立し、その代数に対して対称性、関数計算の存在、弱ウィーナー性質を証明する。主な結果として、既約表現に関するものと、構築された代数の非正則性に関するものがある。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact, compactly generated group of polynomial growth and let $ω$ be a weight on $G$. Under proper assumptions on the weight $ω$, the Banach space $L^p(G,ω)$ is a Banach \ast-algebra. In this paper we give examples of such weighted $L^p$-algebras and we study some of their harmonic analysis properties, such as symmetry, existence of functional calculus, regularity, weak Wiener property, Wiener property, existence of minimal ideals of a given hull.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトでコンパクト生成な多項式成長群 $G$ に対する重み付き $L^p$-代数 $L^p(G, \omega)$ の調和解析的性質を調査すること。
• $L^p(G, \omega)$ がバナッハ $*$-代数となるような重み $\omega$ に関する条件を特定すること。
• これらの代数における対称性、正則性、弱ウィーナー性質、ウィーナー性質、および与えられたハルの最小イデアルの存在を分析すること。
• このような代数の明示的例を構築し、スペクトル解析を用いてその非正則性を示すこと。
• $\mathbb{R}$ 上の特定の重み付き $L^p$-代数に対して、無限次元の既約表現の存在を確立すること。

提案手法

• 群 $G$ 上の乗法的かつ対称的な重み $\omega$ を用いて、重み付き $L^p$-空間 $L^p(G, \omega)$ を定義し、ノルムを $\|f\|_{p,\omega} = \left(\int_G |f(x)|^p \omega(x)^p dx\right)^{1/p}$ とする。
• $\omega$ が乗法的であり、すべての $\varepsilon > 0$ に対して $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ を満たすという条件を適用し、代数が対称であることを保証する。
• $f \in L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$ に対して、表現 $U(f) = \int_{\mathbb{R}} e^{xT} f(x) dx$ を構成し、連続性および準同型性の性質を示す。
• $U$ の任意の閉不変部分空間が作用素 $T$ も不変にすることを示すことで、表現の位相的既約性を証明する。
• $\|T^n\|$ の漸近的推定を用いて、すべての $\varepsilon > 0$ に対して $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ が成り立つことを示し、既知の定理により対称性が導かれる。
• $\omega(x) > C \exp(x / \ln x)$ であることを示すことで、構築された代数が正則でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトでコンパクト生成な多項式成長群 $G$ に対して、重み $\omega$ がどのような条件下で $L^p(G, \omega)$ がバナッハ $*$-代数となるか。
• RQ2 重み付き $L^p$-代数 $L^p(G, \omega)$ は弱ウィーナー性質またはウィーナー性質を満たすか。
• RQ3 $\mathbb{R}$ 上の重み付き $L^p$-代数に対して、無限次元の既約表現を構成できるか。
• RQ4 与えられた重み条件の下で、重み付き $L^p$-代数 $L^p(\mathbb{R}, \omega)$ は対称的か。
• RQ5 構築された重み付き $L^p$-代数は正則的か。また、重み $\omega$ の成長挙動はいかなるものか。

主な発見

• 重み $\omega$ が、コンパクト生成で局所コンパクトな多項式成長群 $G$ 上の正で、対称的かつ乗法的な重みであるとき、重み付き $L^p$-代数 $L^p(G, \omega)$ はバナッハ $*$-代数である。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$x \to \infty$ のとき $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ を満たす。これは、代数 $L^1(\mathbb{R}, \omega)$ および $L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$ が対称的であることを意味する。
• $L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$ 上に、$U(f) = \int_{\mathbb{R}} e^{xT} f(x) dx$ で定義される無限次元の既約表現 $U$ が存在する。ここで $T$ は有界作用素で、十分大きな $n$ に対して $\|T^n\| < \varepsilon^n$ を満たす。
• 表現 $U$ は、$U$ に関して閉不変部分空間が $T$ も不変にすることを示すことで、位相的に既約である。これは部分空間が自明でなければならないことを強制する。
• 構築された代数は正則でない。重みが $\omega(x) > C \exp(x / \ln x)$ を満たすため、正則性条件 $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ を一様に満たさない。
• $L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$ は、重み $\omega_1$ の対称性および成長制御のおかげで、弱ウィーナー性質およびウィーナー性質を満たす。