[論文レビュー] Harmonic Analysis Operators Associated with Multidimensional Bessel Operators

Jorge J. Betancor, Alejandro J. Castro+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多変数ベッセル作用素の熱半群に関連する最大作用素およびリトルウッド＝ペリー g 関数の弱型 (1,1) 有界性を確立し、すべての $1 < p < \infty$ に対して多変数ベッセル設定におけるリーマン変換の強型 (p,p) および弱型 (1,1) 有界性を証明している。これらの結果は、重み付き測度空間とダイアディック分解技術を用いて、古典的調和解析を高次元のベッセル文脈へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we establish that the maximal operator and the Littlewood-Paley g-function associated with the heat semigroup defined by multidimensional Bessel operators are of weak type (1,1). Also, we prove that Riesz transforms in the multidimensional Bessel setting are of strong type (p,p), for every $1

研究の動機と目的

• 最大作用素、リトルウッド＝ペリー g 関数、およびリーマン変換といった調和解析作用素を多変数ベッセル設定へと拡張すること。
• 測度 $\prod x_j^{2\lambda_j} dx$ に関する重み付き $L^p$ 空間において、これらの作用素の弱型 (1,1) および強型 (p,p) 有界性を確立すること。
• 1 次元のベッセル調和解析の結果を、$n \geq 2$ の高次元へ一般化すること。熱半群およびリーマン変換理論を用いる。
• 多変数ベッセル設定における主要な調和作用素（最大作用素、g 関数、リーマン変換）の完全な $L^p$-有界性理論を提供すること。また、熱半群の a.e. 収束についても示す。

提案手法

• ノワクとスヨーグレン（2010）の手法を応用し、ダイアディック分解と弱型推定を用いて最大作用素の弱型 (1,1) 有界性を証明した。
• 多変数ベッセル作用素 $\Delta_{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ が生成する熱半群 $=\{W_t^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}\}_{t>0}$ を用い、これは測度 $m_{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ に関して対称的かつ拡散的半群である。
• リトルウッド＝ペリー g 関数を $g^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}(f)(x) = \left(\int_0^\infty \left|t \frac{\partial}{\partial t} W_t^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}(f)(x)\right|^2 \frac{dt}{t}\right)^{1/2}$ として定義し、その弱型 (1,1) 有界性を証明した。
• リーマン変換 $R_i^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ を因数分解 $\Delta_{\lambda_i} = \left(\frac{d}{dx_i}\right)^* \frac{d}{dx_i}$ を用いて定義し、最大関数推定とダイアディック分解を用いてその $L^p$-有界性を証明した。
• ダイアディック立方体 $\prod_{j=1}^n [2^{m_j}, 2^{m_j+1})$ を用いて作用素を局所化し、最大関数推定を用いて弱型ノルムを制御した。
• 最大作用素および g 関数の $L^p$-有界性と $L^1$-弱推定を組み合わせ、補間および標準的な極限論的議論を用いて、$1 < p < \infty$ に対してリーマン変換の $L^p$-有界性および弱型 (1,1) を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数ベッセル熱半群に関連する最大作用素は、測度 $\prod x_j^{2\lambda_j} dx$ に関して弱型 (1,1) か？
• RQ2 多変数ベッセル熱半群に関連するリトルウッド＝ペリー g 関数は、$L^1$ を弱 $L^1$ に写像するか？
• RQ3 多変数ベッセル設定におけるリーマン変換は、すべての $1 < p < \infty$ に対して $L^p$ 上で有界か？
• RQ4 多変数ベッセル設定におけるリーマン変換は弱型 (1,1) か？
• RQ5 多変数ベッセル作用素に関連する熱半群は、$L^p$ 関数に対して a.e. 収束するか？

主な発見

• 最大作用素 $W_*^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ は測度 $m_{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ に関して弱型 (1,1) であり、すなわち $\|W_*^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}(f)\|_{L^{1,\infty}} \leq C \|f\|_{L^1}$ が成り立つ。
• リトルウッド＝ペリー g 関数 $g^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ は、$L^1((0,\infty)^n, \prod x_j^{2\lambda_j} dx)$ から弱 $L^1((0,\infty)^n, \prod x_j^{2\lambda_j} dx)$ への有界性をもつ。
• すべての $1 < p < \infty$ に対して、リーマン変換 $R_i^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ は $L^p((0,\infty)^n, \prod x_j^{2\lambda_j} dx)$ 上で有界である。
• リーマン変換 $R_i^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ は弱型 (1,1) であり、$\|R_i^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}(f)\|_{L^{1,\infty}} \leq C \|f\|_{L^1}$ が成り立つ。
• すべての $f \in L^p((0,\infty)^n, \prod x_j^{2\lambda_j} dx)$ に対して $1 \leq p < \infty$ ならば、熱半群は $\lim_{t \to 0^+} W_t^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}(f)(x) = f(x)$ a.e. $x \in (0,\infty)^n$ を満たす。
• リーマン変換は a.e. で主値積分として正しく定義される：$R_i^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}(f)(x) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{|x-y| > \varepsilon} R_i^{\lambda_1,\dots,\lambda_n}(x,y) f(y) dy$ a.e. $x \in (0,\infty)^n$。