[論文レビュー] Harmonic aspects in an $η$-Ricci soliton

Adara M. Blaga|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上のη-Ricciソリトンにおけるポテンシャルベクトル場ξの双対1形式ηの調和的性質を調査する。ボッハナー＝ヴァイツェンボック技術とシュレーディンガー＝リッチ方程式を用いて、ηが調和的である、シュレーディンガー＝リッチ調和的である、またはシュレーディンガー＝リッチ方程式の解であるための必要十分条件を導出する。主たる貢献はトポロジカルなスプリット結果である：非自明なL²_f調和1形式が存在し、λ|γ₀|² + μ(γ₀(ξ))² ≤ 0を満たすならば、完備性および非コンパクト性の仮定の下で、多様体の普遍被覆は等長的にℝ × N^{n−1}にスプリットする。

ABSTRACT

We characterize $η$-Ricci solitons $(g,ξ,λ,μ)$ in some special cases when the $1$-form $η$, which is the $g$-dual of $ξ$, is a harmonic or a Schrödinger-Ricci harmonic form. We also provide necessary and sufficient conditions for $η$ to be a solution of the Schrödinger-Ricci equation and point out the relation between the three notions in our context. In particular, we apply these results to a perfect fluid spacetime and using Bochner- Weitzenböck techniques, we formulate some more conclusions for gradient solitons and deduce topological properties of the manifold and its universal covering.

研究の動機と目的

• η（ポテンシャルベクトル場ξの双対）がη-Ricciソリトンにおいて調和的、シュレーディンガー＝リッチ調和的、またはシュレーディンガー＝リッチ方程式の解であるかどうかを特徴付けること。
• ηがこれらの3つの幾何的性質を満たすための必要十分条件を確立すること。
• これらの結果を勾配η-Ricciソリトンに適用し、多様体およびその普遍被覆空間におけるトポロジカル制約を導出すること。
• 完備かつ非コンパクトな多様体上の勾配η-Ricciソリトンの文脈において、L²_f調和1形式の存在とその意味を調査すること。

提案手法

• 計量のリー微分とリッチテンソルの発散を用いて、1形式ηのシュレーディンガー＝リッチ方程式を導出する。
• 1形式ηに対するボッハナー＝ヴァイツェンボック公式を適用し、∆(η)を|∇η|²、S♯(η, η)、⟨∆(η), η⟩の項で表現する。
• fラプラシアン∆f = ∆ − ∇_{grad(f)}を用いてf調和1形式を定義し、バクリ＝エメリーのリッチテンソルS_fと関連付ける。
• リーリー型の公式とL²_f解析を用いて、重み付き多様体(M, g, e^{-f}dV)上の調和1形式を研究する。
• コンパクト多様体上で発散定理と部分積分を用いて、Hess(f)、div(du)、∆(f)を含む恒等式を導出する。
• リッチ曲率、スカラー曲率、およびポテンシャルベクトル場ξの間の相互作用を、η-Ricciソリトン方程式を通じて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルベクトル場ξの双対1形式ηがシュレーディンガー＝リッチ方程式の解であるための条件は何か？
• RQ2 ηが同時に調和的かつシュレーディンガー＝リッチ調和的であるとはどのような場合か？ これは多様体の幾何にどのような意味を持つのか？
• RQ3 非自明なL²_f調和1形式を有する完備かつ非コンパクトな勾配η-Ricciソリトンにおいて、どのようなトポロジカル制約が生じるか？
• RQ4 λ|γ₀|² + μ(γ₀(ξ))² ≤ 0という条件とλの符号が、多様体およびその普遍被覆の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ηの調和性とスカラー曲率の定数性、または|ξ|²の定数性との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 1形式ηがシュレーディンガー＝リッチ方程式の解であるための必要十分条件は、d(scal) = 2μ[(scal + λn + μ|ξ|²)η − ∇ξη]が成り立つことである。
• ηがシュレーディンガー＝リッチ調和的であるための必要十分条件は、µ = 0（リッチソリトン）であるか、(scal + λn + μ|ξ|²)η = ∇ξη − ½d(|ξ|²)が成り立つことである。
• ηが調和的であるための必要十分条件は、iQξg = μ{2[(scal + λn + μ|ξ|²)η − ∇ξη] + d(|ξ|²)}であり、このときξ ∈ ker Qが成り立つ。
• ηが調和的でありµ ≠ 0であるならば、スカラー曲率が定数であることは|ξ|²が定数であることと同値である。
• 非自明なL²_f調和1形式γ₀が存在し、λ|γ₀|² + μ(γ₀(ξ))² ≤ 0を満たすならば、Mの普遍被覆は等長的にℝ × N^{n−1}にスプリットする。
• 非自明なL²_f調和1形式γ₀がλ|γ₀|² + μ(γ₀(ξ))² ≤ 0を満たす場合、形式γ₀は∇-平行であり、長さが一定であり、かつλ ≤ 0が成り立つ。