[論文レビュー] Harmonic bundles on quasi-compact Kähler manifolds

Jürgen Jost, Jiayu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、擬コンpactなケーラー多様体の再帰的表現のモジュライ空間に C^*-作用を、ヘルミート・ヤン・ミルズ方程式を解くことで確立し、擬射影的多様体の族に対する非アーベルホッジ (p,q)-型定理を導出し、ホッジ型でないランク >1 の離散的部分群は、このような多様体の基本群にはなり得ないことを証明する。

ABSTRACT

We define the C^*-action on moduli spaces of reductive representations of fundamental groups of quasi-compact Kaehler manifolds by solving Hermitian-Yang-Mills equation. As applications in algebraic geometry we show a non-abelian Hodge (p,q)-type theorem for families of quasi-projective manifolds. We also prove that any discrete sub group of a Lie group of rank >1 that is not of Hodge type can't be the fundamental group of a quasi-compact Kaehler manifold.

研究の動機と目的

• 擬コンパクトケーラー多様体の基本群の再帰的表現のモジュライ空間に C^*-作用を定義すること。
• この作用を用いて、擬射影的多様体の族に対する非アーベルホッジ (p,q)-型定理を確立すること。
• リー群の離散的部分群のうち、どのものが擬コンパクトケーラー多様体の基本群として現れるかを同定すること。
• 特に族の設定において、非アーベルホッジ理論を擬コンパクトケーラー多様体へと拡張すること。
• 擬コンパクトケーラー多様体の基本群に対する制限を証明すること：ホッジ型でなく、ランク >1 であるものは現れえない。

提案手法

• 擬コンパクトケーラー多様体上のベクトル束に対してヘルミート・ヤン・ミルズ方程式を解き、モジュライ空間への C^*-作用を構成すること。
• ヘルミート・ヤン・ミルズ方程式の解を用いて、安定なヒッグス束と基本群の再帰的表現を関連させること。
• 非アーベルホッジ理論を擬射影的多様体の族に適用し、(p,q)-型分解を導出すること。
• C^*-作用を通じて表現のホッジ的性質を分析し、それが基本群であることに起因する障害を検出すること。
• リー群の構造とランクの条件を用いて、擬コンパクトケーラー多様体の基本群の可能性を分類すること。
• 調和バンドル、ヒッグスバンドル、再帰的表現の間の相互作用を用いて、主要な結果を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、擬コンパクトケーラー多様体の再帰的表現のモジュライ空間に C^*-作用を定義できるか？
• RQ2 この設定において、擬射影的多様体の族に対してどのような非アーベルホッジ的構造が出現するか？
• RQ3 どのリー群の離散的部分群が、擬コンパクトケーラー多様体の基本群として現れるか？
• RQ4 ランク >1 であるリー群の離散的部分群が、擬コンパクトケーラー多様体の基本群として実現可能でない障害は何か？
• RQ5 ヘルミート・ヤン・ミルズ方程式の解が、C^*-作用およびそれらの結果となる定理の構成をどのように支援するか？

主な発見

• C^*-作用は、擬コンパクトケーラー多様体上のヘルミート・ヤン・ミルズ方程式の解を用いて、再帰的表現のモジュライ空間に構成される。
• この枠組みを用いて、擬射影的多様体の族に対する非アーベルホッジ (p,q)-型定理が確立される。
• ランク >1 でありホッジ型でないリー群の任意の離散的部分群は、擬コンパクトケーラー多様体の基本群にはなり得ない。
• ヘルミート・ヤン・ミルズ方程式の解は、この文脈においてヒッグスバンドルと再帰的表現を結ぶために必要な解析的道具を提供する。
• C^*-作用は、擬コンパクトケーラー多様体の基本群にかかるホッジ的制約をより深く理解する手がかりを提供する。
• 結果として、古典的な非アーベルホッジ理論が、特に擬射影的多様体の族の文脈において、擬コンパクト設定へと拡張される。