[論文レビュー] Harmonic functions on metric measure spaces

Bobo Hua, Martin Kell+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 52被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、リーマン的リッチ曲率が下から有界である（RCD$^*(K,N)$空間と呼ばれる）測度付き距離空間上における調和関数の局所的勾配推定値を確立し、滑らかでない設定へとチャング・ヤウの推定値を拡張する。さらに、多項式的成長を示す調和関数の空間に対して、次元の最適な上限を証明し、非負のリッチ曲率のもとで、このような空間の次元は高々 $ n $ であることを示す。ここで $ n $ は体積成長次元である。

ABSTRACT

In this paper, we study harmonic functions on metric measure spaces with Riemannian Ricci curvature bounded from below, which were introduced by Ambrosio-Gigli-Savaré. We prove a Cheng-Yau type local gradient estimate for harmonic functions on these spaces. Furthermore, we derive various optimal dimension estimates for spaces of polynomial growth harmonic functions on metric measure spaces with nonnegative Riemannian Ricci curvature.

研究の動機と目的

• 調和関数の古典的チャング・ヤウの局所的勾配推定値を、リーマン的リッチ曲率が下から有界である測度付き距離空間へと拡張すること。
• RCD$^*(K,N)$ 空間上における多項式的成長を示す調和関数の空間に対して、鋭い次元推定値を導出すること。
• 高階微分可能性の欠如によりボッハーナの技法が失敗する非滑らか空間において、局所的微積分を構築すること。
• 弱上付き勾配とカットオフ関数を用いて、リウヴィル型定理および平均値性質を非滑らか設定へ一般化すること。
• 体積成長の仮定のもとで、最適な次元上限を確立し、多項式的成長調和関数の空間の次元が高々 $ n $（体積成長次元）であることを示すこと。

提案手法

• エルバール＝クワダ＝シュールのグローバル・ボッハーナ不等式を、適切に選んだカットオフ関数に適用することで、RCD$^*(K,N) $ 空間における局所的ボッハーナ不等式を導出する。
• ジャンとケルが確立した $ W^{1,2}_{\text{loc}} $ 関数に対して、ラプラシアンが $ L^p $ に属する場合の局所的リプシッツ正則性を用いて、弱上付き勾配が適切に定義されることを保証する。
• 無限遠における平均値定理（定理 5.4）を用いて、特定の点で消える調和関数の空間上に極限内積 $ D $ を定義する。
• $ B_{R+\epsilon} $ に台を持つカットオフ関数 $ \chi_\epsilon $ を用い、$ B_R $ 上で 1 に等しく、$ |\nabla \chi_\epsilon|_m \leq 1/\epsilon $ を満たすように定める。これにより境界項を制御する。
• 正規直交調和関数 $ \{f_i\} $ に対して、$ F^2 = \sum f_i^2 $ がサブハーモニックであることに着目し、$ \int |\nabla f_i|^2 $ を含む積分不等式を導出する。
• 合成則と直交変換不変性を用いて、$ |\nabla F_\delta|_w \leq 1 $ を示し、$ F(x) \leq d(x,p) $ を得る。これにより体積比推定 $ \frac{A_R}{|B_R|} \geq \frac{k - \epsilon_1}{R} $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \sigma $-有限測度を有する RCD$^*(K,N) $ 空間上における調和関数に対して、チャング・ヤウ型の局所的勾配推定値を確立することは可能か？
• RQ2 非負のリッチ曲率を有する RCD$^*(K,N) $ 空間上における多項式的成長を示す調和関数の空間の最大次元は何か？
• RQ3 RCD$^*(K,N) $ 空間における球の体積成長が、多項式的成長調和関数の次元にどのように制約を加えるか？
• RQ4 無限遠における平均値性質を用いて、調和関数の空間上に極限内積を定義し、次元推定を行うことは可能か？
• RQ5 $ DC $-微分構造に依存せずに、非滑らか測度付き距離空間におけるボッハーナ不等式をどの程度局所化できるか？

主な発見

• $ RCD^*(K,N) $ 空間に対して、関数 $ u \in \mathcal{D}_{L^4_{\text{loc}}} (\Delta) $ で $ \Delta u \in W^{1,2}_{\text{loc}} \cap L^p_{\text{loc}} $（$ p > N $）を満たすものに対して、局所的ボッハーナ不等式を確立した。これにより $ |\nabla u|_w^2 \in W^{1,2}_{\text{loc}} $ が保証される。
• 無限遠における平均値定理（定理 5.4）により、$ \lim_{R \to \infty} \fint_{B_R} |\nabla f|_m^2 dm = \text{ess sup}_X |\nabla f|_m^2 $ が成り立ち、これにより極限内積 $ D $ を定義できる。
• 任意の有限次元部分空間 $ H'' \subset H^1(X) $ で $ \dim H'' = k $ である場合、十分大きな $ R $ に対して体積比が $ \frac{A_R}{|B_R|} \geq \frac{k - \epsilon_1}{R} $ を満たす。ここで $ A_R = \liminf_{\epsilon \to 0^+} \frac{|B_{R+\epsilon} \setminus B_R|}{\epsilon} $ である。
• 体積成長の仮定 $ |B_R| \leq C R^n $ を仮定すると、不等式 $ \left( \frac{R}{R_{\epsilon_1}} \right)^{k - \epsilon_1} \leq \frac{|B_R|}{|B_{R_{\epsilon_1}}|} $ から $ k - \epsilon_1 \leq n $ が得られ、極限において $ k \leq n $ となる。
• 非負のリッチ曲率のもとで、次数が高々 $ d $ の多項式的成長調和関数の空間の次元は高々 $ n $ である。ここで $ n $ は体積成長次元である。
• 最適な次元上限 $ \dim \mathcal{H}^d \leq n $ が達成されており、この上限は鋭く、リーマン幾何学の古典的結果を非滑らか設定へ一般化している。