[論文レビュー] Harmonic Magnus Expansion on the Universal Family of Riemann Surfaces

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|Mar 7, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、チェンの反復積分を用いて、マークド点および接ベクトルを備えた genus-$g$ リーマン面の普遍族における周期行列の高次版としての調和マグヌス展開を導入する。これは平坦接続を構成し、そのホロノミーがすべての高次ジョンソン準同型を実現する。また、スターシェフのアソシアヘドロンによる組み合わせ的パrametrizationを通じて、ねじれモリタ＝マムフォード類を表す標準的な微分形式を導出する。

ABSTRACT

Let ${\mathbb M}_{g, 1}$, $g \geq 1$, be the moduli space of triples $(C, P_0, v)$ of genus $g$, where $C$ is a compact Riemann surface of genus $g$, $P_0 \in C$, and $v \in T_{P_0}C\setminus\{0\}$. Using Chen's iterated integrals we introduce a higher analogue of the period matrix for a triple $(C, P_0, v)$, {\it the harmonic Magnus expansion}. It induces a flat connection on a vector bundle over the space ${\mathbb M}_{g, 1}$, whose holonomy gives all the higher Johnson homomorphisms of the mapping class group. The connection form, which is computed as an explicit quadratic differential, induces "canonical" differential forms representing (twisted) Morita-Mumford classes and their higher relators on ${\mathbb M}_{g, 1}$. In particular, we construct a family of twisted differential forms on ${\mathbb M}_{g, 1}$ representing the $(0, p+2)$-twisted Morita-Mumford class $m_{0, p+2}$ combinatorially parametrized by the Stasheff associahedron $K_{p+1}$.

研究の動機と目的

• マークド点および接ベクトルを備えたリーマン面のモジュライ空間 $\mathbb{M}_{g,1}$ 上で、ねじれモリタ＝マムフォード類を表す標準的な微分形式を構成すること。
• チェンの反復積分を用いて、周期行列の高次版、すなわち調和マグヌス展開を定義することで、古典的周期行列の一般化を達成すること。
• 調和マグヌス展開から導かれる平坦接続のホロノミーを用いて、マッピングクラス群のすべての高次ジョンソン準同型を実現すること。
• $(0,p+2)$-ねじれモリタ＝マムフォード類 $m_{0,p+2}$ が、$p$-コチェインとしてのスターシェフのアソシアヘドロン $K_{p+1}$ の細胞コホモロジー複体を通じて、組み合わせ的にパrametrized されることを示すこと。
• 双曲的計量や周期行列に依存せずに、$e_i$類を表す微分形式の明示的構成を提供すること。

提案手法

• チェンの反復積分を用いて、$\mathbb{M}_{g,1}$ 上のベクトル束への調和マグヌス展開としての平坦接続を定義する。
• $\mathbb{M}_{g,1}$ のねじれド・ラーム複体値をとる、スターシェフのアソシアヘドロン $K_{p+1}$ の細胞コホモロジー複体における $p$-コチェイン $\theta^*Y_p$ を構成する。
• $H^1(C\setminus\{P_0\}; \mathbb{R})$ を曲面 $\Sigma_g$ の第1ホモロジー群 $H$ と同一視し、その上でシンプレクティック構造を備える。
• 調和体積 $I_C$ の第一変分を、1次形式 $\eta_1^U$ として用い、これは1次における調和マグヌス展開に対応する。
• $p$-コチェインを $H$ 上の交線形形式と.contract することで、$m_{0,p+2}$ を表す微分形式を導出する。
• $\mathfrak{p}^H N(\omega'\omega')_{(3)} = 2\mathfrak{p}^H N(\omega'_1 \omega'_2)$ の関係と $P_0$ での滑らかさを用いて、接続形式の定義が正しく行われることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての高次ジョンソン準同型を捉えることができる、周期行列の高次版をどのように構成できるか？
• RQ2 $(0,p+2)$-ねじれモリタ＝マムフォード類 $m_{0,p+2}$ の幾何学的・位相的意味は、組み合わせ的構造としてどのように解釈できるか？
• RQ3 $s \geq 2$ に対して、高次ジョンソン写像 $\tau_s^\theta$ 間の関係は、$\mathbb{M}_{g,1}$ のコホモロジーにおいてどのように現れるか？
• RQ4 双曲的計量やシーゲルモジュラー形式に依存せずに、すべてのモリタ＝マムフォード類を表す標準的な微分形式を構成可能か？
• RQ5 スターシェフのアソシアヘドロン $K_{p+1}$ は、$m_{0,p+2}$ 類のパrametrization において、どのように関係しているか？

主な発見

• 調和マグヌス展開はチェンの反復積分により定義され、$\mathbb{M}_{g,1}$ 上のベクトル束への平坦接続を誘導する。そのホロノミーは、すべての高次ジョンソン準同型を実現する。
• $K_{p+1}$ の細胞コホモロジー複体における $p$-コチェイン $\theta^*Y_p$ は、自然なコホモロジー群の同型の下で $\frac{1}{(p+2)!}(-1)^{\frac{1}{2}p(p+1)}m_{0,p+2}$ を表す。
• 接続形式は明示的に二次微分形式として計算され、その曲率からねじれモリタ＝マムフォード類を表す標準的な微分形式が得られる。
• 調和体積 $I_C$ の第一変分は 1-形式 $\eta_1^U$ と一致し、これはハイパーオリプティカルな部分多様体 $\mathcal{H}_g$ に沿って消える。これは、$e_i$ を表すすべての導出された形式が同様にそこですべて消えることを意味する。
• $e_1^J$ は、$\alpha_1^* (\theta^* \eta_1^U \otimes \theta^* \eta_1^U)$ から得られ、$e_1^J = e_1^F - 12c_1(\lambda, L^2)$ に補正項を加えて一致する。
• 調和マグヌス接続の曲率から得られる2形式 $e^J$ は $\mathbb{C}_g$ 上にあり、アラケロフの適応計量と関係しており、$\frac{1}{2\pi i} \partial\bar\partial h|_{\text{diagonal}} = e^J + \frac{1}{(2-2g)^2}(e_1^F - e_1^J)$ を満たす。