[論文レビュー] Harmonic maps and para-Sasakian geometry

S. K. Srivastava, K. Srivastava|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パラ・ササキ多様体へのおよびからの調和写像を調査し、ほぼパラ・ヘルミート多様体とパラ・ササキ多様体の間のパラ正則写像の概念を導入する。このような写像の張力場を導出し、パラ・ササキ多様体間の$(\phi_1,\phi_2)$-パラ正則写像が$\phi_1$-パラ多重調和的であるための必要十分条件を確立する。非自明な3次元例を用いて、計量と構造テンソルの明示的計算によりその条件を検証する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the harmonicity of maps to or from para-Sasakian manifolds. We derive the condition for the tension field of paraholomorphic map between almost para-Hermitian manifold and para-Sasakian manifold. The necessary and sufficient condition for a paraholomorphic map between para-Sasakian manifolds to be parapluriharmonic are shown and a non-trivial example is presented for its illustrations.

研究の動機と目的

• パラ・ササキ多様体およびほぼパラ・ヘルミート多様体間の写像の調和性を調査すること。
• パラ・ササキ幾何学の文脈において、パラ正則写像を定義し、分析すること。
• パラ・ササキ多様体間のパラ正則写像がパラ多重調和的であるための必要十分条件を導出すること。
• 理論的結果を図示する非自明な幾何的例を提供すること。
• パラ複素幾何を用いて、調和写像の理論をパラ・ササキ構造へと拡張すること。

提案手法

• ほぼパラ・ヘルミート多様体およびパラ・ササキ多様体を、互いに相性の良いほぼパラ複素構造$J$, $\phi$および擬リーマン計量を用いて定義する。
• ほぼパラ・ヘルミート多様体とパラ・ササキ多様体の間の$(J,\phi)$-パラ正則写像の概念を導入する。
• パラ正則写像の張力場$\tau(f)$を計算し、それが水平分布$\Gamma(D_1)$上にあることを示す。
• 第二基本形式$\alpha_f$およびリーマン接続を用いて、$\alpha_f$が$\phi_1$および$\phi_2$の下での対称性および変換性を導出する。
• パラ多重調和性のための条件$\alpha_f(X,Y) = \alpha_f(\phi_1X,\phi_1Y)$が、$\xi_2 \in (\text{Im } f_*)^\perp$であるときにかつそのときに限り成立することを確立する。
• 明示的な構造$\phi_i$, $\xi_i$, $\eta_i$, 計量$g_1$, $g_2$を備えた3次元例を構築し、接続および torsion の直接計算により理論的条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼパラ・ヘルミート多様体からパラ・ササキ多様体へのパラ正則写像の張力場の条件は何か？
• RQ2 パラ・ササキ多様体間の$(\phi_1,\phi_2)$-パラ正則写像が$\phi_1$-パラ多重調和的であるのはいつか？
• RQ3 パラ多重調和的条件を満たす非自明なパラ正則写像の例をどのように構成できるか？
• RQ4 水平分布およびリーマンベクトル場がこのような写像の調和性に果たす役割は何か？
• RQ5 ニエンヒュイズ torsion およびリーマン接続が、この文脈におけるパラ・ササキ多様体の幾何的構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意のほぼパラ・ヘルミート多様体からパラ・ササキ多様体への$(J,\phi)$-パラ正則写像の張力場$\tau(f)$は、常に水平分布$\Gamma(D_1)$上にある。
• パラ・ササキ多様体間の$(\phi_1,\phi_2)$-パラ正則写像が$\phi_1$-パラ多重調和的であるための必要十分条件は、リーマンベクトル場$\xi_2$が微分$f_*$の像に直交することである。
• 構築された3次元例において、$f(x,y,z) = (y,x,z)$は$\lambda(x) = 1$を満たす$(\phi_1,\phi_2)$-パラ正則写像であり、$f_*\xi_1 = \xi_2$および$f^*\eta_2 = \eta_1$を満たす。
• 例から$\alpha_f(X,Y) = \alpha_f(\phi_1X,\phi_1Y)$が$g_2(\xi_2, f_*X) = 0$および$\lambda = 1$により成立することが確認され、主定理が検証される。
• 例における$\phi_i$のニエンヒュイズ torsion は消えることから、ほぼパラ接触構造の正規性が確認される。
• 計量$g_1$および$g_2$の両方のリーマン接続が明示的に計算され、$p=0$, $q=-1$の条件が両方の多様体$M_1^3$および$M_2^3$がパラ・ササキ多様体であることを確認する。