[論文レビュー] Harmonic maps into Grassmannian manifolds

Yasuyuki Nagatomo|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ラプラシアン作用素と平均曲率作用素を備えたベクトル束枠組みを導入することで、球面への調和写像に関する高橋の定理をグラスマン多様体への調和写像へ一般化する。主な貢献は、引き戻し商束の切断におけるラプラシアンのゼロ性による調和写像の特徴付けであり、これにより、複素二次曲面への正則等長埋め込みの剛性結果とモジュライ空間の構成が得られる。

ABSTRACT

A harmonic map from a Riemannian manifold into a Grassmannian manifold is characterized by a vector bundle, a space of sections of this bundle and a Laplace operator. We apply our main theorem, itself a generalization of a Theorem of Takahashi, to generalize the theory of do Carmo and Wallach and to describe the moduli space of harmonic maps satisfying the gauge and the Einstein-Hermitian conditions from a compact Rieannian manifold into a Grassmannian. As an application, several rigidity results are exihibited. In particular we generalize a rigidity theorem due to Calabi in the case of holomorphic isometric immersions of compact Kaehler manifolds into complex projective spaces. Finally, we also construct moduli spaces of holomorphic isometric embeddings of the complex projective line into complex quadrics of low degree.

研究の動機と目的

• 球面への調和写像に関する高橋の定理をグラスマン多様体への調和写像へ拡張すること。
• 引き戻しユニバーサル商束の切断におけるラプラシアンのゼロ性を用いた調和写像の特徴付けを行うこと。
• ゲージ条件およびアインシュタイン＝ヘルミート条件を用いて、ド・カルモとウォーラッハの最小埋め込み理論を一般化すること。
• 低次の複素二次曲面への複素射影直線の正則等長埋め込みのモジュライ空間を構成すること。
• ADHM構成とツイスター理論を通じて、調和写像の幾何と線形代数的構造を関連付けること。

提案手法

• 引き戻しバンドル f*Q → M 上の第二基本形式の合成のトレースとして平均曲率作用素 A を導入する。
• W の切断が W の元と同一視されるとき、W 上のラプラシアンのゼロ性を定義する。
• ガウス–コダージュ方程式を用いて、エネルギー、ヤン–ミルズ、および A の L²-ノルムの3つの汎関数のオイラー–ラグランジュ方程式を計算する。
• A が恒等作用素に比例するアインシュタイン＝ヘルミート条件を適用し、極値写像を特徴付ける。
• ボレル–ヴァイルの定理とペネロープ変換を用いて、正則切断の空間を Sp(2) の表現と特定する。
• 極座標分解と像の同値性を用い、例えば M₂ = M₂/S¹ = [0,1] のように、モジュライ空間を商として記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 引き戻し商束の切断におけるラプラシアンの観点から、滑らかな写像 f:M→Gr_p(W) が調和写像であるための条件は何か？
• RQ2 ゲージ条件およびアインシュタイン＝ヘルミート条件が、コンパクトなリーマン多様体からグラスマン多様体への調和写像のモジュライ空間にどのように制約を加えるか？
• RQ3 次数 2 の複素二次曲面への CP¹ の正則等長埋め込みのモジュライ空間の構造は何か？
• RQ4 インスタントンの S⁴ 上における ADHM 構成とツイスター変換の文脈で、調和写像とどのように関係するか？
• RQ5 有限次元の切断空間を持つ正則ベクトルバンドルから誘導される写像が調和写像とみなせる条件は何か、またその条件は何か？

主な発見

• 滑らかな写像 f:M→Gr_p(W) が調和写像であるための必要十分条件は、各 t∈W に対して Δt = -At が成り立ち、|df|² = -trace A が成り立つことである。
• 次数 2 の Gr₄(ℝ⁶) への CP¹ の正則等長埋め込みのモジュライ空間 M₂ は、S¹ の作用による商として得られ、[0,1] に位相的に同相である。
• S⁴ 上のタウトロジカルバンドルから誘導される写像 f₀:M→Gr₂(ℂ⁴) は剛性を持ち、ゲージ条件およびアインシュタイン＝ヘルミート条件を満たす調和写像として変形できない。
• 平均曲率作用素 A の L²-ノルムとして定義される汎関数は、写像の全エネルギーに関連する下界を持つ。
• ADHM 法により構成された 1-インスタントンに対して、C=0 のとき誘導写像 f:M→Gr₂(ℂ⁴) は標準写像を回復するが、C≠0 のときは異なるが、引き戻し接続は依然として自己双対性を保つ。
• 線形方程式 (Δ+A)t=0 および Dα=0 がモジュライ空間の記述を支え、調和写像の線形代数的分類を可能にする。