[論文レビュー] Harmonic morphisms between almost Hermitian manifolds

Sigmundur Gudmundsson, Jonathan Wood|ArXiv.org|Dec 18, 1995

Geometry and complex manifolds被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、ほぼヘルミート多様体間の正則写像が調和的モルフィズムであるための条件を、リー形式と繊維のスーパー最小性の役割に注目して確立する。主な貢献は、繊維がスーパー最小的であり、水平分布に対して特定の括弧条件を満たす場合に、正則写像がヘルミート多様体に写像するとき、その定義域にほぼ複素構造が可積分になる十分条件を示したことである。これは、既知の調和的モルフィズムおよびケーラー構造に関する結果を一般化するものである。

ABSTRACT

We obtain conditions on the Lee form under which a holomorphic map between almost Hermitian manifolds is a harmonic map or morphism. Then we discuss under what conditions (i) the image of a holomorphic map from a cosymplectic manifold is also cosymplectic, (ii) a holomophic map with Hermitian image defines a Hermitian structure on its domain.

研究の動機と目的

• ほぼヘルミート多様体間の正則写像が調和写像または調和的モルフィズムであるためのリー形式の条件を特定すること。
• コサインプレクティック多様体からの正則写像の像がコサインプレクティックである条件を調査すること。
• ヘルミート多様体を像とする正則写像が、その定義域に可積分なヘルミート構造を誘導する条件を確立すること。
• 特に複素次元2および1次元の繊維に対して、既知の調和的モルフィズムおよびケーラー構造に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 張力場と引き戻し接続を用いて、張力場の消滅および調和関数の引き戻しにより、調和写像および調和的モルフィズムを定義する。
• 調和的モルフィズムを水平に弱い等角な調和写像として特徴付ける。特に、倍率および水平ホモセティ（homothety）の役割に注目する。
• 局所的ヘルミートフレームと複素化された接束を用いて、接束の複素分解（1,0）型および（0,1）型を分析する。
• ほぼ複素構造Jとリー形式の発散を用いて、調和性およびモルフィズム性の条件を導出する。
• 繊維のスーパー最小性（Jが繊維に沿って平行）および水平分布における括弧条件といった幾何的制約を課すことにより、ほぼ複素構造の可積分性を保証する。
• フーゲルデおよび石原の定理を応用し、繊維の最小性および水平ホモセティと調和的モルフィズム性の関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー形式にどのような条件を課すと、ほぼヘルミート多様体間の正則写像が調和的モルフィズムになるか？
• RQ2 コサインプレクティック多様体からの正則写像の像がコサインプレクティックになるのはいつか？
• RQ3 ヘルミート多様体を像とする正則写像が、その定義域に可積分なヘルミート構造を誘導するのはいつか？
• RQ4 繊維および水平分布にどのような幾何的条件を課すと、定義域多様体上のほぼ複素構造が可積分になるか？

主な発見

• ほぼヘルミート多様体からヘルミート多様体への正則写像で、複素次元1の繊維を持つものは、その繊維がスーパー最小的であり、水平分布が特定の括弧条件 $[{ m H}^{1,0},{ m H}^{1,0}]^{ m V} \subset {\rm V}^{1,0}$ を満たすとき、かつそのときに限り調和的モルフィズムである。
• 繊維がスーパー最小的であり、水平分布が括弧条件 $[{ m H}^{1,0},{ m H}^{1,0}]^{ m V} \subset {\rm V}^{1,0}$ を満たすとき、定義域多様体上のほぼ複素構造 $J$ の可積分性が保証される。
• ホップ写像 $\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb{C}P^n$ は、定理が適用される例である：繊維はスーパー最小的であり、括弧条件も成り立つ。したがって、$\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\}$ 上の持ち上げられたほぼヘルミート構造は可積分であり、そのうちの1つはケーラー的であり、もう1つはそうではない。
• 複素次元2では、ヘルミート多様体からリーマン面への正則写像は、正則点において繊維がスーパー最小的であるとき、かつそのときに限り調和的モルフィズムである。これは[25]で得られた結果を回復する。
• 括弧条件 $[{ m H}^{1,0},{ m H}^{1,0}]^{ m V} \subset {\rm V}^{1,0}$ は、水平分布が可積分である場合、または像が複素次元1である場合に満たされる。両者とも、定理が適用可能であることを意味する。
• 計量の複素双線形拡張および垂直（1,0）場についての $\langle V,V\rangle=0$ の成立は、Lie括弧 $[V,Z^*]$ が $T^{1,0}M$ に属することを示すために不可欠であり、これにより可積分性が保たれる。