[論文レビュー] Harmonic morphisms from three-dimensional Euclidean and spherical space forms

M. T. Mustafa, Jonathan Wood|ArXiv.org|Dec 18, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、標準的調和同型写像と弱全角写像の合成として、3次元の単連結でないユークリッド空間形式および球面形式から曲面へのすべての調和同型写像を分類する。主な結果は、単連結の場合の先行研究を拡張した完全なグローバル分類であり、各空間形式における標準的調和同型写像の明示的リストが、球面上の群作用および実・射影2次元球面上の作用によって得られる。

ABSTRACT

P. Baird and the second author studied harmonic morphisms from a three-dimensional simply-connected space form to a surface and obtained a complete local and global classification of them. In this paper, we obtain a description of all harmonic morphisms from any three-dimensional Euclidean and spherical space form to a surface, namely that any such harmonic morphism is the composition of a standard harmonic morphism and a weakly conformal map. We list the standard harmonic morphisms.

研究の動機と目的

• 3次元単連結空間形式から曲面への調和同型写像の分類を、非単連結の場合に拡張すること。
• 3次元ユークリッドおよび球面空間形式から曲面への調和同型写像のグローバル分類を提供すること。
• 各空間形式におけるすべての標準的調和同型写像を特定・リスト化すること、これにはレンズ空間、ピラミッド空間、正四面体的空間、正八面体的空間、正二十面体的空間が含まれる。
• 調和同型写像の構造を全角 foliation および軌道体商を用いて特徴付けること。
• 関連する SO(4) の有限部分群およびそれらが S³ と S² に作用する様子を特定することで、記述を完成させること。

提案手法

• 調和同型写像が、水平的（弱く）全角である調和写像であるという特徴付けを用いる。
• 曲面への調和同型写像が、最小ファイバーを持つ水平的全角な準同型写像と等価であるという結果を適用する。
• 調和同型写像と弱全角写像の合成が再び調和同型写像であるという事実を活用する。
• S³ および R³ に作用する離散群 Γ の作用を分析し、空間形式を球面またはユークリッド空間の商として分類する。
• 双対被覆 ϕ: S³×S³ → SO(4) と射影 ψ: S³ → SO(3) を用い、群作用とベース曲面上の軌道体構造を関連付ける。
• 2次元球面または実射影平面への作用によって標準的調和同型写像を分類し、商軌道体 Lᴹ = S²/H₂ または RP² を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単連結な3次元空間形式から曲面への調和同型写像のグローバル構造は何か？
• RQ2 3次元空間形式からの調和同型写像は、標準的同型写像と弱全角写像の合成としてどのように分解できるか？
• RQ3 SO(4) のどの有限部分群が S³ 上の標準的ホフ foliation を保存し、軌道体への調和同型写像を導くか？
• RQ4 各タイプの3次元球面的およびユークリッド的空間形式における標準的調和同型写像の完全なリストは何か？
• RQ5 S³ および R³ に作用する群の作用から、ベース曲面上の軌道体構造はどのように生じるか？

主な発見

• 3次元非単連結ユークリッドおよび球面的空間形式から曲面へのすべての調和同型写像は、標準的調和同型写像と弱全角写像の合成である。
• 球面的空間形式の場合、標準的調和同型写像は有限部分群 Γ ⊂ Γ₁ ⊂ SO(4) から生じ、ベース空間は S² または RP² の商である。
• 分類にはレンズ空間（Zₚ × Zₚ）、ピラミッド空間（Zₚ × Dₘ）、および正四面体的・正八面体的・正二十面体的対称性を持つ空間が含まれる。
• ベース軌道体は、S²(q,q)、S²(2,2,m)、P²(q)、S²(2,3,3)、S²(2,3,4)、S²(2,3,5) であり、それぞれ異なる対称性群 H₁ および H₂ に対応する。
• S³ で自由に作用する SO(4) の任意の有限部分群は Γ₁ の部分群に共役であるため、すべての空間形式が標準的調和同型写像をもつことが保証される。
• ベース軌道体 Lᴹ への誘導写像は、H₂ が S² に作用する様子、または Γ ⊂ Γ₂ のとき H₁ の位数2の元による商に一致する。