[論文レビュー] Harmonic self-maps of cohomogeneity one manifolds

Thomas Puettmann, Anna Siffert|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、SO(4ℓ+2)、SO(8)、SO(10)、SO(14)、SO(26) などのコンパクトなリー群の新しい調和自己写像を、同調的写像の共型次元1多様体上の非線形特異境界値問題を解くことで構成する。$(k,r)$-写像を用いた幾何的枠組みを導入し、法成分と接成分の両方が消えるとき、緊張場が消えることを証明し、-3、-5、-7、-11 の次数を持つ明示的な調和写像を導く。

ABSTRACT

We develop the theory of equivariant harmonic self-maps of compact cohomogeneity one manifolds and construct new harmonic self-maps of the compact Lie groups SO(4L+2), L >= 1, with degree -3, of SO(8), SO(14) and SO(26) with degree -5 each, of SO(10) with degree -7, and of SO(14) with degree -11 by exhibiting linear solutions to non-linear singular boundary value problems.

研究の動機と目的

• 群作用を伴うコンパクトな共型次元1多様体上における同調的調和自己写像の理論を構築すること。
• より一般の不変計量と同調的空間を超える幾何的構成を許容することで、ウラカワの結果を拡張すること。
• SO(4ℓ+2)、SO(8)、SO(10)、SO(14)、SO(26) などのコンパクトなリー群の、新しい位相的に非自明な調和自己写像を構成すること。
• 緊張場の法成分に関する非線形特異境界値問題を解き、接成分がリー代数的条件によって消えることを確認すること。
• 非線形問題の線形解が所望の次数を持つ調和写像を生む枠組みを確立すること。

提案手法

• smooth な $ r: [0,L] \to \mathbb{R} $ で $ r(0)=0 $、$ r(L)=kL $ を満たすものに対して、$ g \cdot \gamma(t) \mapsto g \cdot \gamma(r(t)) $ と定義される $(k,r)$-写像を定義する。
• 平行移動 $\Pi_t^{r(t)}$ と作用場の準同型 $J_t^{r(t)}$ を用いて、緊張場の法成分と接成分の明示的公式を導出する。
• 法成分を $\tau^{\perp}_{|\gamma(t)} = \ddot{r}(t) - \dot{r}(t)\operatorname{trace} S_{|\gamma(t)} + \operatorname{trace}\left( (J_t^{r(t)})^* (\Pi_t^{r(t)})^{-1} S_{|\gamma(r(t))} \Pi_t^{r(t)} J_t^{r(t)} \right)$ と表現する。
• 正規直交基底を用いて接成分を $\tau^{\tan}_{|\gamma(t)} = -\sum_{\mu,\nu=1}^n \langle [E_\mu, F_\nu]^*, E_\mu^* \rangle_{|\gamma(r(t))} F_\nu^*_{|\gamma(r(t))}$ と表現する。
• リー括弧 $[\tilde{E}_\mu, \tilde{F}_\nu]$ が計量において $\tilde{E}_\mu$ に直交するとき、接成分が消えることを確立する。これは $\mathfrak{so}(n)$ の表現論的分解によって検証される。
• 三角恒等式（補題8.1および8.2）を用いて、球面上の $(g,m)$-作用および $(g,m_0,m_1)$-作用、$\mathrm{SO}(n+2)$ における特定のケースで法成分を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共型次元1多様体上の $(k,r)$-写像が調和となる幾何的条件は何か？
• RQ2 緊張場の法成分に関する非線形特異境界値問題を明示的に解くことで、調和自己写像を得られるか？
• RQ3 緊張場の接成分が何時消え、何らかのリー理論的条件がそれを保証するか？
• RQ4 SO(n) のようなコンパクトなリー群の調和自己写像の可能な次数は何か？
• RQ5 三角恒等式をどのように用いて、対称的状況における法緊張場の消滅を検証できるか？

主な発見

• 論文は、$\mathrm{SO}(4\ell+2)$（$\ell \geq 1$）に対して、緊張場方程式を解くことにより、次数 -3 の新しい調和自己写像を構成する。
• SO(8)、SO(14)、SO(26) に対して、非線形境界値問題の線形解を用いて、それぞれ次数 -5 の調和自己写像を示している。
• SO(10) に対して次数 -7 の調和自己写像を構成し、SO(14) に対しては次数 -11 の別の調和自己写像を生成した。
• 接成分が消えるのは、リー括弧 $[\tilde{E}_\mu, \tilde{F}_\nu]$ が計量において $\tilde{E}_\mu$ に直交するときであり、これは $\operatorname{ad}_{\tilde{F}_\nu}$ の反対称性と $\mathfrak{so}(n)$ の $\tilde{\mathfrak{m}}_i$ および $\mathfrak{so}(6)$ への分解によって成立する。
• 法成分が消えるのは、$r(t)$ が非線形常微分方程式 $\ddot{r}(t) - \dot{r}(t)\operatorname{trace} S_{|\gamma(t)} + \operatorname{trace}\left( (J_t^{r(t)})^* (\Pi_t^{r(t)})^{-1} S_{|\gamma(r(t))} \Pi_t^{r(t)} J_t^{r(t)} \right) = 0$ を満たし、境界条件 $r(0)=0$、$r(L)=kL$ を満たすときである。
• 三角恒等式（補題8.1および8.2）を用いて、$(g,m)$-作用における $\mathbb{S}^{n+1}$ や $\mathrm{SO}(n+2)$ における対称的状況で、法緊張場の消滅を検証した。