[論文レビュー] Harmonic tropical morphisms and approximation

Lionel Lang|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、リーマン面上の調和アーモーブ写像族の極限として、アフィン空間への調和トロピカル写像を導入し、正則位相トロピカル写像に関するミハルキンの近似定理を再証明するための新しい枠組みを提供する。このような写像が、所定の残留行列をもつ代数的曲線族の解析的極限として生じることを確立し、虚正規化微分形式と周期行列を通じて、トロピカル幾何学とリーマン面のモジュライ空間を結びつける。

ABSTRACT

extit{Harmonic amoebas} are generalisations of amoebas of algebraic curves immersed in complex tori. Introduced in \cite{Kri}, the consideration of such objects suggests to enlarge the scope of tropical geometry. In the present paper, we introduce the notion of harmonic morphisms from tropical curves to affine spaces and show how these morphisms can be systematically described as limits of families of harmonic amoeba maps on Riemann surfaces. It extends previous results about approximation of tropical curves in affine spaces and provides a different point of view on Mikhalkin's approximation Theorem for regular phase-tropical morphisms, as stated e.g. in \cite{Mikh06}. The results presented here follow from the study of imaginary normalised differentials on families of punctured Riemann surfaces and suggest interesting connections with compactifications of moduli spaces.

研究の動機と目的

• 抽象的代数的曲線族のための厳密なトロピカル収束の概念を定義すること。
• 穿孔されたリーマン面上での虚正規化微分形式を用いて、アーモーブを調和アーモーブへ一般化すること。
• 調和トロピカル写像と所定の残留行列をもつ代数的曲線族の極限との間の対応を確立すること。
• 調和アーモーブ極限と周期行列解析を用いて、ミハルキンの近似定理を再証明すること。
• 残留および周期制約を通じて、トロピカル幾何学、リーマン面のモジュライ空間、およびコンパクト化との間の関係を探索すること。

提案手法

• 所定の残留ベクトルをもつ虚正規化微分形式（i.n.d.）の実部の積分によるリーマン面の像として調和アーモーブを導入する。
• 残留行列から導かれる正確な1次形式の積分によるトロピカル曲線の像として調和トロピカル曲線を定義し、辺の傾きが周期ベクトルに対応するようにする。
• リーマン面の退化における周期行列の極限挙動を用いて、調和アーモーブ写像族の極限として調和トロピカル写像を定義する。
• リーマンの第二双線形関係式と周期行列解析を用いて、残留制約を通じて代数的曲線族とトロピカル極限を関連付ける。
• モジュライ空間のコンパクト化への周期写像の解析接続と拡張を用いて、レベル集合と退化部分集合の交わりを記述する。
• 周期写像のレベル集合と退化部分集合の交わりは、実次元 $2mg$ の余次元の滑らかな部分多様体であり、ループ上の線形および対数周期条件によって記述される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和トロピカル写像は、リーマン面上の調和アーモーブ写像族の極限として、どのように体系的に記述できるか？
• RQ2 所定の残留行列と周期行列が、代数的曲線族が特定のトロピカル曲線に収束することを保証するための条件は何か？
• RQ3 虚正規化微分形式の極限周期は、トロピカル写像の組合せ的型とどのように関係するか？
• RQ4 調和アーモーブ極限と周期行列制約を用いて、ミハルキンの近似定理を再証明できるか？
• RQ5 調和アーモーブ収束下で特定のトロピカル曲線に退化する曲線のモジュライ空間の幾何的構造は何か？

主な発見

• 虚正規化微分形式の周期行列が整数行列に収束するとき、調和トロピカル写像はリーマン面上の調和アーモーブ写像族の極限として生じる。
• 極限トロピカル写像は残留行列 $R$ によって決定され、辺の傾きはトロピカル1次形式の周期ベクトルに対応する。
• コンパクト化されたモジュライ空間に拡張された周期写像 $ ilde{ ho}_R$ のレベル集合は、退化部分集合 $E$ と交わり、実次元 $2mg$ の余次元の滑らかな部分多様体をなす。
• この交わりは二つの系で記述される：辺の長さに関する線形方程式 ($ ext{sum} \ell'(e) \cdot \textsc{w}_R^C(\vec{e}) = 0$) と対数周期条件 ($\sum \log(\theta'(e)) \cdot \textsc{w}_R^C(\vec{e}) = 0 \mod 2\pi\mathbb{Z}$)。
• 方程式系はフルランク $2mg$ をもち、交わりの部分集合の横断性と滑らかさを保証する。
• モジュライ空間内の与えられた曲線 $V$ に収束するリーマン面の列を構成でき、その際調和アーモーブ写像は調和トロピカル写像に収束する。$ heta_t$ が一定に保てるのは、正次元の解析的レベル集合があるためである。