[論文レビュー] Harmonic univalent functions defined by q-calculus operators

Jay M. Jahangiri|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、複素単位円板内における調和的単一値関数に対して、q微分作用素（特にSalagean q微分作用素）を新たな応用として導入する。q導関数を用いて定義される新しい調和関数のクラスについて、鋭い係数評価、歪み定理、被覆結果を確立し、古典的な幾何学的関数論をq微分法の枠組みへ拡張する。単一値性と係数制約の正確な条件を提示する。

ABSTRACT

The fractional q-calculus is the q-extension of the ordinary fractional calculus and dates back to early 20-th century. The theory of q-calculus operators are used in various areas of science such as ordinary fractional calculus, optimal control, q-difference and q-integral equations, and also in the geometric function theory of complex analysis. In this article, for the first time, we apply certain q-calculus operators to complex harmonic functions and obtain sharp coefficient bounds, distortion theorems and covering results.

研究の動機と目的

• q微分作用素の理論を複素単位円板内における調和的単一値関数へ拡張すること。
• Salagean q微分作用素を用いて新しい調和関数のクラスを定義し、単一値性の必要十分係数条件を確立すること。
• q作用素を用いて定義される新しい調和関数クラスについて、鋭い歪み定理および被覆定理を導出すること。
• 微分作用素のqアナロジーを組み込むことにより、古典的な幾何学的関数論の結果を一般化すること。
• 極値関数と正確な係数不等式を提示し、新しい関数クラスを特徴付けること。

提案手法

• 単位円板内における正則関数に対して、q微分作用素 ∂ₚh(z) = [h(z) - h(qz)] / [(1 - q)z] を定義する。
• q微分の反復適用により、Salagean q微分作用素 𝒟ₚ^m h(z) を定義し、𝒟ₚ^m h(z) = z + ∑[n]ₚ^m aₙ zⁿ を得る。
• 調和関数 f = h + g̅ に対して作用素を拡張し、𝒟ₚ^m f(z) = 𝒟ₚ^m h(z) + (-1)^m 𝒟ₚ^m g(z)̅ を定義する。
• Re(𝒟ₚ^{m+1}f / 𝒟ₚ^m f) ≥ α を満たす調和関数のクラス ℋₚ^m(α) を定義する（0 ≤ α < 1）。
• ハダマール積とべき級数展開を用い、実部条件から係数不等式を導出する。
• 極値関数と凸包表現を用いて、評価の鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q微分作用素によって定義される調和的単一値関数の鋭い係数評価は何か？
• RQ2 q微分作用素は、調和関数の幾何的性質（歪みや被覆性）にどのように影響を与えるか？
• RQ3 q作用素を用いて定義されるクラス ℋₚ^m(α) に属する調和関数の必要十分条件は何か？
• RQ4 Salagean作用素のqアナロジーは、調和的単一値関数論における古典的結果をどのように変更するか？
• RQ5 q作用素によって定義されるクラスの極値関数を明示的に構成し、特徴付けられるか？

主な発見

• クラス ℋₚ^m(α) は、鋭い係数条件 ∑[n]ₚ^m([n]ₚ - α)|aₙ| + ∑[n]ₚ^m([n]ₚ + α)|bₙ| ≤ 1 - α で特徴付けられる。
• f ∈ ℋₚ^m(α) に対して、関数が単位円板内で調和的単一値であるための必要十分条件は、上記の係数不等式が成り立つことである。
• 係数不等式における等号を達成する極値関数は、f(z) = z + ∑(1−α)/[n]ₚ^m([n]ₚ−α) xₙ zⁿ + ḡ(z) として明示的に与えられ、∑|xₙ| + ∑|yₙ| = 1 を満たす。
• 非負係数をもつ関数のクラス ℋ̅ₚ^m(α) は、同じ係数条件を満たし、その凸包はすべてのこのような関数の集合である。
• 歪みおよび被覆定理が導出され、|z| = r < 1 に対して |f(z)| ≤ (1 + b₁)r + (1 - α)/[2]ₚ^m([2]ₚ - α) × (1 - (1+α)/(1-α)b₁)r² が成り立つことが示された。
• q → 1⁻ のとき、結果は調和的単一値関数論における古典的結果に還元され、既知の理論と整合性が確認された。