[論文レビュー] Harnack inequality for kinetic Fokker-Planck equations with rough coefficients and application to the Landau equation

François Golse, Cyril Imbert+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2016

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 31被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない可測係数をもつ運動論的 Fokker-Planck 方程式に対して、Harnack 不等式および Hölder 連続性を確立し、De Giorgi–Nash–Moser 理論を Kolmogorov 型の擬微分型方程式へ拡張する。主な結果は、質量、エネルギー、エントロピーが有界であるという条件下で、$\gamma \in [-d, 0]$ の逆べき則相互作用をもつ Landau 方程式に対する非負かつ本質的に有界な弱解の Hölder 連続性の確立である。

ABSTRACT

We extend the De Giorgi--Nash--Moser theory to a class of kinetic Fokker-Planck equations and deduce new results on the Landau-Coulomb equation. More precisely, we first study the H{ö}lder regularity and establish a Harnack inequality for solutions to a general linear equation of Fokker-Planck type whose coefficients are merely measurable and essentially bounded, i.e. assuming no regularity on the coefficients in order to later derive results for non-linear problems. This general equation has the formal structure of the hypoelliptic equations "of type II" , sometimes also called ultraparabolic equations of Kolmogorov type, but with rough coefficients: it combines a first-order skew-symmetric operator with a second-order elliptic operator involving derivatives along only part of the coordinates and with rough coefficients. These general results are then applied to the non-negative essentially bounded weak solutions of the Landau equation with inverse-power law $γ$ $\in$ [--d, 1] whose mass, energy and entropy density are bounded and mass is bounded away from 0, and we deduce the H{ö}lder regularity of these solutions.

研究の動機と目的

• 滑らかさの仮定を一切要しない可測かつ本質的に有界な係数をもつ運動論的 Fokker-Planck 方程式へ、De Giorgi–Nash–Moser 理論を拡張すること。
• 一般クラスの線形運動論的 Fokker-Planck 方程式に対して、滑らかでない係数のもとで Harnack 不等式および Hölder 連続性を確立すること。
• これらの正則性結果を、逆べき則相互作用（$\gamma \in [-d, 0]$）をもつ非線形 Landau 方程式に適用し、質量、エネルギー、エントロピーが有界である条件下で弱解の Hölder 連続性を証明すること。
• 同じ物理的仮定のもとで、Landau 方程式のケースにおいて解の $L^\infty$ 界の必要性を排除するために、最近得られた事前界（例：Cameron, Silvestre, Snelson より）を活用すること。

提案手法

• 局所的な可積分性および正則性の増加をチェイング・アーギュメントによって構成することで、De Giorgi–Nash–Moser 法を運動論的方程式に適応する。
• 運動論的設定において、時間・空間・速度変数のスケーリングが異なる非等方的スケーリングを組み込んだ修正された Moser の反復スキームを用いる。
• 中間値補題および非負な副解に対する局所的上界を確立し、振動の制御と Hölder 連続性の導出を実現する。
• 平均化補題および Landau 方程式に関する既知の推定（例：拡散行列 $A[f]$ および漂流項 $B[f]$, $c[f]$ の下界・上界）を、質量・エネルギー・エントロピーが有界であるという仮定のもとで適用する。
• 局所的正則性推定と測度論的被覆論的議論を組み合わせることで、運動論的位相空間における解の Harnack 不等式を導出する。
• スケーリングおよび補間不等式を用いて、速度勾配の $L^2$ および $L^q$ ノルムを制御し、反復の閉じ込みを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない可測係数をもつ運動論的 Fokker-Planck 方程式へ、De Giorgi–Nash–Moser 理論を拡張することは可能か？
• RQ2 最小限の可積分性および有界性仮定のもとで、このような方程式の解に対して Harnack 不等式が成立するか？
• RQ3 線形運動論的方程式の正則性理論を応用して、非線形 Landau 方程式の解の Hölder 連続性を導出できるか？
• RQ4 Landau 方程式において、解の $L^\infty$ 界を仮定せずに正則性を保つための条件は何か？
• RQ5 質量・エネルギー・エントロピーが有界であるという条件下で、係数 $A[f]$, $B[f]$, および $c[f]$ はどのように振る舞い、それが擬微分型性にどのように影響するか？

主な発見

• 可測かつ本質的に有界な係数をもつ一般クラスの運動論的 Fokker-Planck 方程式に対して、滑らかさの仮定がなくても Harnack 不等式が確立された。
• 質量・エネルギー・エントロピー密度が有界であるという条件下で、$\gamma \in [-d, 0]$ の Landau 方程式の非負かつ本質的に有界な弱解の Hölder 連続性が証明された。
• 解 $f$ は $B_{1/2} \times B_{1/2} \times (-1/2, 0]$ で $\alpha$-Hölder 連続であり、その定量的評価は $\|f\|_{L^2}$, $\|f\|_{L^\infty}^{1+|\gamma|/d}$ および物理的パrameter に依存する。
• 最近の事前上界（例：Cameron, Silvestre, Snelson より）を用いることで、$f$ に対する $L^\infty$ 界の仮定なしに正則性結果が成立することが示され、顕著な改善が達成された。
• 拡散行列 $A[f]$ は一様強退化的であり、下界 $\det A[f] \geq c(1+|v|)^\kappa$ を満たし、$\kappa$ は $\gamma$ および次元に依存する。
• 同じ物理的仮定のもとで $A[f]$, $B[f]$, および $c[f]$ の上界が導出され、係数が制御可能であり方程式が依然として擬微分型であることが保証された。