[論文レビュー] Has the Born rule been proven?

Jerry Finkelstein|ArXiv.org|Jul 12, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多世界解釈（MWI）におけるデイヴィッド・ウォルサレーのBorn規則の意思決定理論的導出を批判し、三つの合理的な参加者—平等主義者、楽観主義者、斯文主義者—がウォルサレーの公理を破るが依然として合理的であると主張することで、これらの公理の必要性を揺るがす。主な貢献は、ウォルサレーの証明が、合理性とは無関係な追加の仮定なしにはBorn規則を完全に正当化できないことの示唆であり、これは、ユニタリ量子力学のみから確率を導出するというプログラムの主張を揺るがすものである。

ABSTRACT

This note is a somewhat-lighthearted comment on a recent paper by David Wallace, arXiv:0906.2718[quant-ph] entitled "A formal proof of the Born rule from decision-theoretic assumptions".

研究の動機と目的

• ウォルサレーの意思決定理論的公理が多世界解釈（MWI）の文脈における合理性に不可欠であるという主張を挑戦すること。
• ウォルサレーの時間的整合性公理および解の連続性公理に違反しても依然として合理的に行動する合理的参加者が存在することを示すこと。
• ウォルサレーの公理をすべて満たす参加者ですら意思決定理論的Born規則（DTBR）に従わないことがあること、したがってDTBRの導出が一意的でないことを示すこと。
• MWIにおけるBorn規則を正当化するには、合理性を超えた追加の仮定が必要であり、これは元来ユニタリ量子力学のみから確率を導出することを目的としていたプログラムと矛盾することを主張すること。

提案手法

• Egalitarian、Optimist、Stoicという三つの仮想参加者を定義し、それぞれが量子意思決定の場面で異なる好みの構造を持つこと。
• 特に時間的整合性公理および解の連続性公理に関して、各参加者の行動をウォルサレーの公理に基づいて分析し、違反または適合を明らかにすること。
• 量子重み w(rᵢ) = |cᵢ|² を用いて、重ね合わせ状態 |Ψ⟩ = ∑ᵢ cᵢ |rᵢ⟩ を用いて分岐結果をモデル化すること。
• 意思決定の根拠として、量子期待値 ⟨V⟩(G) = ∑ᵢ w(rᵢ)V(rᵢ) を計算し、参加者の実際の好みと比較すること。
• Stoic参加者の、同じ量子期待値でも報酬分布が著しく異なるゲーム（特に、非常に低い重みを持つ結果を含む）に対する好みを検討すること。
• Stoic参加者の行動がウォルサレーのすべての公理を満たすがDTBRに違反することを主張し、公理だけではBorn規則が導かれないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MWIフレームワークにおいて、合理的な参加者がウォルサレーの時間的整合性公理および解の連続性公理に違反しながらも依然として合理的に行動することは可能か？
• RQ2 意思決定理論的Born規則（DTBR）は、ウォルサレーの公理から一意に導出可能か？それとも、公理を満たすがDTBRに従わない合理的な参加者が存在するか？
• RQ3 量子重みが無視できるほど小さい分岐を確率1として扱うStoic参加者の行動は、Born規則の合理的な代替案とみなせるか？
• RQ4 ユニタリ量子力学と合理的意思決定理論のみからBorn規則を導出することは可能か？追加の仮定なしに？
• RQ5 Stoic参加者がすべての公理を満たすがDTBRに従わない場合、これは公理がBorn規則を正当化するために不十分であることを示唆するか？

主な発見

• 平等主義者参加者は、期待値が等しいにもかかわらず報酬の分散を最小化するゲームを好むため、時間的整合性公理に違反する。これは、子孫が同様の好みを持たない場合に顕著である。
• 楽観主義者参加者は、時間的整合性公理および解の連続性公理の両方に違反する。高報酬の結果を重視するが、量子重みには無関心であるため、これらの公理が合理性に不可欠であるとは限らないことが示唆される。
• 斯文主義者参加者はウォルサレーのすべての公理を満たすがDTBRに従わない。小さな確率で高報酬を得るゲームを、期待値がより大きいもう一方のゲームよりも好むため、公理だけではBorn規則が導かれないことが示される。
• 量子重みが約10⁻¹⁰⁰の分岐で10⁶ドルの報酬を得るゲームに対して、斯文主義者が好むことは、すべての公理に整合的であるが、連続性が無視可能な分岐を無視させることを強制しないことを示している。
• ウォルサレーの証明は、好みが一意な関数 u によって決定され、u の量子期待値と一致することを示しているが、斯文主義者の場合、u は定数であるため、好みの順序は成立しない。しかし、参加者は依然として合理的に行動している。
• 本論文は、MWIにおけるBorn規則を正当化するには、合理性を超えた追加の仮定が必要であり、これはD-Wプログラムがユニタリ量子力学と合理性のみから規則を導出することを目的としていたという主張を揺るがすと結論づける。