[論文レビュー] Hasse Diagrams for Gapless SPT and SSB Phases with Non-Invertible Symmetries

Lakshya Bhardwaj, Daniel Pajer+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2024

Molecular spectroscopy and chirality被引用数 15

ひとこと要約

本論文は Hasse diagrams of condensable algebras in Drinfeld centers を用いて、 fusion-category（非 invertible を含む）対称性を持つ1+1Dのギャップレスおよびギャップありの相を分類し、 intrinsic gapless SPT/SSB phases を導入し、 Rep(D8) の最初の igSPT を含む具体例を提供する。

ABSTRACT

We discuss (1+1)d gapless phases with non-invertible global symmetries, also referred to as categorical symmetries. This includes gapless phases showing properties analogous to gapped symmetry protected topological (SPT) phases, known as gapless SPT (or gSPT) phases; and gapless phases showing properties analogous to gapped spontaneous symmetry broken (SSB) phases, that we refer to as gapless SSB (or gSSB) phases. We fit these gapless phases, along with gapped SPT and SSB phases, into a phase diagram describing possible deformations connecting them. This phase diagram is partially ordered and defines a so-called Hasse diagram. Based on these deformations, we identify gapless phases exhibiting symmetry protected criticality, that we refer to as intrinsically gapless SPT (igSPT) and intrinsically gapless SSB (igSSB) phases. This includes the first examples of igSPT and igSSB phases with non-invertible symmetries. Central to this analysis is the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT), where each phase corresponds to a condensable algebra in the Drinfeld center of the symmetry category. On a mathematical note, gSPT phases are classified by functors between fusion categories, generalizing the fact that gapped SPT phases are classified by fiber functors; and gSSB phases are classified by functors from fusion to multi-fusion categories. Finally, our framework can be applied to understand gauging of trivially acting non-invertible symmetries, including possible patterns of decomposition arising due to such gaugings.

研究の動機と目的

• 分類フレームワークとしての相図（Hasse diagram）を、カテゴリ対称性を持つ（ギャップあり・ギャップなしの）(1+1)D 相に適用する。
• Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) を用いて、 Drinfeld center Z(S) の condenser-algebra として相をエンコードする。
• 非可逆な fusion category 対称性に対して gSPT/igSPT および gSSB/igSSB の分類を一般化する。
• Vec(S3)、Rep(D8)、および非可逆構造を持つ Rep(D8) など、特定の対称性について具体的な計算と例を提供する。

提案手法

• 対称性 S を有する d 次の理論に対する SymTFT を、対称性境界と物理境界を持つ区間として記述する。
• S 対称相をは Drinfeld center Z(S) の condenser-algebra A によって分類し、A1 ≤ A2 は A1 が A2 の部分代数である場合に半順序を課す。
• バルク位相欠陥の区間圧縮によって相の荷を構築する；荷は Z(S) の対象でラベル付けされ、境界上の Lagrangian_algebras によって制約される。
• 対応する condenser-algebra が最大（Lagrangian）か非最大かによってギャップ相とギャップなし相を区別する。
• デフォーマーションでギャップが解消されず、 intrinsic gapless SPT (igSPT) および intrinsic gapless SSB (igSSB) 相を導入・同定する。
• Z4 gSPT や Rep(D8) gSPT/SSB のような具体例を挙げて、Hasse diagram の構造を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 condensable algebras を用いて、S 対称のギャップあり・なし相を統一的な部分順序フレームワークでどう整理できるか？
• RQ2 intrinsic gapless 相（igSPT/igSSB）とは何か、Hasse diagram 内でどのように検出されるのか？
• RQ3 非可逆 fusion category 対称性は SPT/SSB の分類と相境界をどう修正するのか？
• RQ4 Rep(D8) など非可逆対称性の igSPT/igSSB の具体例は何か、IR/UV で荷はどう実現されるのか？
• RQ5 SymTFT と condenser-algebra データは (1+1)d 系における symmetry gaps Δ_S および通常のギャップ Δ をどう符号化するのか？

主な発見

• fusion-category 対称性に対して、(1+1)D のギャップあり・なし SPT/SSB 相を統一的に分類する Hasse-diagram フレームワークを確立する。
• intrinsic gapless SPT (igSPT) および intrinsic gapless SSB (igSSB) 相を同定し、Rep(D8) の最初の igSPT を含む。
• 相構造は Z(S) の condenser-algebras および対称性境界 L_S との交差から読み取れ、具体的な相タイプ（gSPT, igSPT, gSSB, igSSB）を得る。
• Vec(S3), Rep(D8), Rep(D8m) の Explicit な分析は、非可逆対称性が igSPT 相を許容し、より豊かな Hasse 構造を生み出すことを示す。
• SymTFT の定式化は、対称性荷と秩序パラメータを対称境界と物理境界上の endable anyon としてエンコードし、 symmetry gaps Δ_S とスペクトルギャップ Δ の区別を明確にする。
• S を同じ SymTFT を持つ S' に変更しても Hasse diagram 自体は変更されないが、相の解釈は変わる。