[論文レビュー] Hasse invariant and group cohomology

Bas Edixhoven, Chandrashekhar Khare|ArXiv.org|Oct 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、群コホモロジー枠組みを構築し、幾何的ハッセ不変量が存在しない状況（虚二次体や完全実体上のヒルベルトモジュラー形式など）において、ハッセ不変量の役割を模倣するものとして、重さ2のモジュラー形式と重さ$p+1$のモジュラー形式の間の合同関係を生成する。この枠組みでは、退化写像とヘッケ固有値の持ち上げを用い、重さ2のヘッケ固有形式が対称冪を介して高重さ形式へと持ち上がる仕組みを明らかにする。主な貢献は、エイクラー＝シュムール同型におけるコホモロジー的パズルを解明するメカニズムを提供することであり、重さ2のヘッケ固有形式が対称冪を介して高重さ形式へ持ち上がる仕組みを示す。これは、幾何的ハッセ不変量が利用できない虚二次体および完全実体へと拡張可能である。

ABSTRACT

Let p be a prime number. The Hasse invariant is a modular form modulo p that is often used to produce congruences between modular forms of different weights. We show how to produce such congruences between forms of weights 2 and p+1, in terms of group cohomology. We also show how our method works in the contexts of quadratic imaginary fields (where there is no Hasse invariant available) and Hilbert modular forms over totally real fields of even degree.

研究の動機と目的

• コホモロジー的パズルの解明：対称冪表現が既約であるにもかかわらず、$H^1(\Gamma_1(N), \mathbb{F}_p)$ におけるヘッケ固有値が $H^1(\Gamma_1(N), \mathrm{Sym}^{p-1}(\mathbb{F}_p^2))$ からも生じる理由を解明すること。
• 虚二次体や完全実体上でのヒルベルトモジュラー形式など、幾何的ハッセ不変量が存在しない文脈において、ハッセ不変量の代わりとなる群コホモロジー的代替物を構築すること。
• 古典的モジュラー形式に限らない、高ランク設定（非平行重さヒルベルトモジュラー形式など）への重さ上昇合同関係の方法の拡張。
• 特に $2 < k \leq p+1$ および $k > p+1$ の範囲において、$p$-新形式のレベル上昇基準のコホモロジー的解釈を提供すること。

提案手法

• 退化写像 $\alpha: H^1(\Gamma_1(N), \mathbb{F}_p)^2 \to H^1(\Gamma_1(N) \cap \Gamma_0(p), \mathbb{F}_p)$ を用い、$\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ を用いた共役による制限およびねじれ制限の和として定義し、異なるレベルのコホモロジー群を関連付ける。
• エイクラー＝シュムール同型を適用し、$H^1(\Gamma_1(N), \mathbb{F}_p)$ および $H^1(\Gamma_1(N), \mathrm{Sym}^{p-1}(\mathbb{F}_p^2))$ におけるモジュラー形式とコホモロジー類を同定し、ヘッケ固有値の比較を可能にする。
• 退化写像の単射性（補題1）と完全実体における強い近似を活用し、核を制御し、固有値の持ち上げを保証する。
• ヒルベルトモジュラー形式の文脈において、ジャケット＝ラングランズ対応を用い、保型表現とクaternion代数上の形式との間でコホモロジー的データを移行する。
• ボレル部分群からの誘導表現に直接和分解として現れる表現 $\mathrm{Sym}^{p-1}(\mathbb{F}_\wp^2) \otimes \mathrm{Sym}^{p-1}(\mathbb{F}_\wp^2)^\sigma \otimes \cdots$ を構築し、固有値の移行を可能にする。
• 文献[K]の結果を応用し、$p$-新形式のレベル上昇基準を導出し、重さ$k$が$p+1$と比較してどの範囲にあるかに応じて場合分けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称冪表現が既約であるにもかかわらず、$H^1(\Gamma_1(N), \mathbb{F}_p)$ におけるヘッケ固有値が $H^1(\Gamma_1(N), \mathrm{Sym}^{p-1}(\mathbb{F}_p^2))$ からも生じる理由は何か？
• RQ2 虚二次体上など、幾何的ハッセ不変量が存在しない文脈において、ハッセ不変量のコホモロジー的代替物を構築できるか？
• RQ3 群コホモロジーを用いて、重さ2と重さ$p+1$のモジュラー形式間の重さ上昇合同関係を体系的にどのように記述できるか？
• RQ4 $p$-新形式がレベル$N$からレベル$Np$へと持ち上がる背後にあるコホモロジー的メカニズムは何か？
• RQ5 退化写像はヘッケ作用素とどのように作用し合い、異なるコホモロジー群間で固有値系を保存するか？

主な発見

• 退化写像 $\alpha: H^1(\Gamma_1(N), \mathbb{F}_p)^2 \to H^1(\Gamma_1(N) \cap \Gamma_0(p), \mathbb{F}_p)$ は単射であり、コホモロジー類および固有値の持ち上げに重要な技術的道具を提供する。
• 重さ2のヘッケ固有形式が $\overline{\mathbb{F}_p}$ に値をとる固有値をもつ場合、$H^1(\Gamma_1(N), \mathrm{Sym}^{p-1}(\mathbb{F}_p^2))$ からの形式としても生じる。これはコホモロジー的パズルを解消する。
• 重さ$k=2$の場合、新形式$f$が$\wp$を法として$p$-新形式と合同であるための必要十分条件は、$a_p(f)^2 \equiv \varepsilon_f(p) \pmod{\wp}$ である。ここで$\varepsilon_f$はネーベンティプス字である。
• 重さ$2 < k \leq p+1$の場合、$f$が$\wp$を法として$p$-新形式と合同であるための必要十分条件は、$a_p(f) \equiv 0 \pmod{\wp}$ である。
• 重さ$k > p+1$の場合、$S_k(\Gamma_1(N))$ に属する任意の新形式$f$は、$S_k(\Gamma_1(N) \cap \Gamma_0(p))$ に属する$p$-新形式と合同である。これは、高重さにおいてレベル上昇が常に可能であることを示している。
• 完全実体$F$（偶数次）上でのヒルベルトモジュラー形式の文脈において、重さ$(2,\dots,2)$から生じる、$\mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}_p})$ へのガロア表現$\rho: G_F \to \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}_p})$ は、ジャケット＝ラングランズ対応とコホモロジー的持ち上げを介して、重さ$(p+1,\dots,p+1)$からも生じる。