[論文レビュー] Hausdorff dimension and Kleinian groups

Christopher J. Bishop, Peter W. Jones|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 1994

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限生成で非自明なクライン群の極限集合のハウスドルフ次元とその力学的不変量との間の深い関係を確立する。群 G の臨界指数 δ(G) がコンパクト極限集合のハウスドルフ次元に等しいことを証明し、極限集合 Λ(G) の次元が 1 より大きいことは、コンパクト極限集合の次元が 1 より大きいことに同値であることを示す。幾何的有限性、代数的収束における連続性、およびメルキンスキー次元とハウスドルフ次元の同値性といった重要な結果を含む。

ABSTRACT

Let G be a non-elementary, finitely generated Kleinian group, Lambda(G) its limit set and Omega(G) = S \ Lambda(G) (S = the sphere) its set of discontinuity. Let delta(G) be the critical exponent for the Poincaré series and let Lambda_c be the conical limit set of G. Suppose Omega_0 is a simply connected component of Omega(G). We prove that (1) delta(G) = dim(Lambda_c). (2) A simply connected component Omega is either a disk or dim(Omega)>1$. (3) Lambda(G) is either totally disconnected, a circle or has dimension > 1, (4) G is geometrically infinite iff dim(Lambda)=2. (5) If G_n o G algebraically then dim(Lambda) <= \liminf dim(Lambda_n). (6) The Minkowski dimension of Lambda equals the Hausdorff dimension. (7) If Area(Lambda)=0 then delta(G) = dim(Lambda(G)). The proof also shows that \dim(Lambda(G)) > 1 iff the conical limit set has dimension > 1 iff the Poincaré exponent of the group is > 1. Furthermore, a simply connected component of Omega(G) either is a disk or has non-differentiable boundary in the the sense that the (inner) tangent points of \partial Omega have zero 1-dimensional measure. Almost every point (with respect to harmonic measure) is a twist point.

研究の動機と目的

• 極限集合 Λ(G) のハウスドルフ次元とクライン群の力学的不変量との関係を理解すること。
• 極限集合の次元が 1 より大きいときの条件を特定し、その位相的構造を特徴づけること。
• 極限集合について、メルキンスキー次元とハウスドルフ次元が等しいことを確立すること。
• 単連結な成分 Ω(G) の構造を解析し、特に境界の正則性を調べること。
• クライン群の代数的収束における極限集合の次元の振る舞いを調査すること。

提案手法

• 次元との関係を調べるための中心的な解析的道具として、ポincare級数とその臨界指数 δ(G) を用いる。
• コンパクト極限集合 Λ_c 及びその次元を分析するため、共形的・幾何的測度論的手法を適用する。
• 境界の正則性を調べるため、調和測度と接点解析を用いる。
• 次元の閾値を特徴づけるために、ポincare指数を用い、特に δ(G) > 1 ⇔ dim(Λ_c) > 1 を示す。
• 被覆議論と距離的エントロピー推定を用いて、メルキンスキー次元とハウスドルフ次元の同値性を証明する。
• 群 G_n → G の代数的収束を分析し、次元に関する liminf 不等式 dim(Λ) ≤ liminf dim(Λ_n) を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成クライン群 G に対して、臨界指数 δ(G) とコンパクト極限集合 Λ_c のハウスドルフ次元との正確な関係は何か？
• RQ2 極限集合 Λ(G) のハウスドルフ次元が 1 より大きいのはどのような条件下か？ これはコンパクト極限集合の構造とどのように関係するか？
• RQ3 クライン群の代数的収束における極限集合の次元はどのように振る舞うか？
• RQ4 不連続集合 Ω(G) の単連結成分の境界正則性について、何が言えるか？
• RQ5 極限集合の面積が 0 であるとき、δ(G) = dim(Λ(G)) が成り立つのはいつか？

主な発見

• 臨界指数 δ(G) はコンパクト極限集合のハウスドルフ次元に等しい：δ(G) = dim(Λ_c)。
• Ω(G) の単連結成分 Ω は、円板であるか、ハウスドルフ次元が 1 より大きい。
• 極限集合 Λ(G) は、完全に不連結であるか、円周であるか、ハウスドルフ次元が 1 より大きい。
• 群 G が幾何的に無限大であることと、dim(Λ(G)) = 2 であることは同値である。
• Λ(G) のメルキンスキー次元は、そのハウスドルフ次元に等しい。
• Λ(G) の面積が 0 であれば、δ(G) = dim(Λ(G)) が成り立つ。