[論文レビュー] Hausdorff dimension of boundaries of self-affine tiles in R^n

J. J. P. Veerman|ArXiv.org|Jan 15, 1997

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、相似写像に共役でない場合でも、R^n 内の自己同相タイルの境界のハウスドルフ次元を計算するための新規な手法を導入する。タイトな上界と下界を確立し、固有値の絶対値が等しい場合に正確な次元を計算する。これはジョルダン細胞を含み、ウェーブレット理論において重要な場合に適用可能であり、いくつかの例について正確な値を提供する。

ABSTRACT

We present a new method to calculate the Hausdorff dimension of a certain class of fractals: boundaries of self-affine tiles. Among the interesting aspects are that even if the affine contraction underlying the iterated function system is not conjugated to a similarity we obtain an upper- and lower-bounds for its Hausdorff dimension. In fact, we obtain the exact value for the dimension if the moduli of the eigenvalues of the underlying affine contraction are all equal (this includes Jordan blocks). The tiles we discuss play an important role in the theory of wavelets. We calculate the dimension for a number of examples.

研究の動機と目的

• R^n 内の自己同相タイルの境界のハウスドルフ次元を計算するための手法を開発すること。
• 標準的手法が失敗する非類似自己同相圧縮の課題に対処すること。
• 一般の自己同相ケースにおける次元のタイトな上界と下界を提供すること。
• 自己同相写像の固有値の絶対値が等しい場合に、ハウスドルフ次元の正確な値を導出すること。
• ウェーブレット理論およびフラクタル幾何学において重要な例への応用を示すこと。

提案手法

• この手法は、自己同相圧縮を用いた反復関数系によって生成される自己同相タイルの構造を分析することに依存する。
• 線形部分のスペクトル特性、特にその固有値の絶対値を用いる。
• タイルの境界構造をモデル化するための記号的力学系フレームワークを構築する。
• 被覆議論を用いて次元を推定するために、測度幾何学および力学系の技術を適用する。
• 固有値の絶対値が等しい場合、この手法は境界が一致することを証明し、正確な次元を導出する。
• ジョルダン細胞を含む既知の自己同相タイルにおける明示的計算を通じて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同相写像が相似写像に共役でない場合、自己同相タイルの境界のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 一般の自己同相ケースにおいて、ハウスドルフ次元のタイトな上界と下界を導出できるか？
• RQ3 境界のハウスドルフ次元が正確に計算可能となる条件は何か？
• RQ4 線形部分にジョルダン細胞が存在する場合、タイル境界の次元にどのような影響を与えるか？
• RQ5 固有値の絶対値が等しい特定の自己同相タイルの正確なハウスドルフ次元は何か？

主な発見

• この論文は、自己同相写像が相似写像に共役でない場合でも、タイル境界のハウスドルフ次元の上界と下界を確立する。
• 線形部分のすべての固有値の絶対値が等しい場合、上界と下界が一致し、正確なハウスドルフ次元が得られる。
• ジョルダン細胞を含むいくつかの例について正確な次元が計算されている。
• この手法はウェーブレット理論において重要な役割を果たすタイルに適用可能であり、フラクタル幾何学と調和解析を結びつける。
• 従来の自己相似集合に関する研究を、非類似圧縮を含むより一般的な自己同相ケースへと拡張する。
• 固有値の絶対値が等しい場合、次元の計算は正確かつ解析的に導出されており、数値的手法ではない。