[論文レビュー] Hausdorff Dimension of Non-Wandering Sets for Average Conformal Hyperbolic Maps

Paul E. Wright|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、平均的摂動的再帰的集合の概念を平均的摂動的双曲的集合へと拡張し、一般化された圧力関数を用いてそのハウスドルフ次元の公式を確立する。主な貢献は、平均的摂動的条件下における非摂動的双曲的系に適用可能な、摂動的再帰的集合のものと類似した次元公式の確立である。

ABSTRACT

The Hausdorff dimension of a conformal repeller or conformal hyperbolic set is well understood. For non-conformal maps, the Hausdorff dimension is only known in some special cases. Ban, Cao and Hu defined the concept of an average conformal repeller which generalises conformal, quasi-conformal and weakly conformal repellers, and they found an equation for the Hausdorff dimension for an average conformal repeller. In this paper we generalise this concept to average conformal hyperbolic sets, and obtain a similar equation for the Hausdorff dimension.

研究の動機と目的

• 非摂動的力学系における双曲的集合への平均的摂動的再帰的集合の概念の一般化を図ること。
• 平均的摂動的双曲的集合のハウスドルフ次元の公式を確立すること。
• 摂動的系における既知の次元結果を、より広い非摂動的双曲的系のクラスへと拡張すること。
• 変動する収縮／拡張率を示す系における次元計算の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 摂動的および準摂動的力学の一般化として、平均的摂動的双曲的集合の概念を導入すること。
• リャプノフ指数とヤコビアンの成長を用いて、非摂動的設定に適した圧力関数を定義すること。
• 熱力学的形式主義を用いて、圧力を非定常集合の次元に関連付けること。
• 均衡状態を介して圧力をハウスドルフ次元に関連付ける変分原理を確立すること。
• 次元が一般化された圧力関数のゼロによって決定されることを証明すること。
• バーン、ツァオ、フーの平均的摂動的再帰的集合に関する研究手法を、双曲的設定へと適応すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均的摂動性の概念を再帰的集合から双曲的集合へどのように拡張できるか。
• RQ2 変動する摂動性を示す非摂動的双曲的系において、適切な圧力関数は何か。
• RQ3 平均的摂動的双曲的集合に対してハウスドルフ次元の公式を導出できるか。
• RQ4 平均的摂動的双曲的集合の次元公式は、既知の摂動的系の結果とどのように比較できるか。

主な発見

• 平均的摂動的双曲的集合のハウスドルフ次元は、一般化された圧力関数のゼロによって決定される。
• この次元公式は、摂動的再帰的集合に対して既知の結果を非摂動的双曲的設定へと一般化する。
• リャプノフ指数が変動しても、軌道に沿って摂動性が平均化される系に本手法が適用可能である。
• ヤコビアンおよびリャプノフ指数の滑らかさと成長に関するやや弱い条件のもとで、結果は成り立つ。