[論文レビュー] Hausdorff dimension of the graphs of the classical Weierstrass functions

Weixiao Shen|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、整数 $b \geq 2$ および $\lambda \in (1/b, 1)$ に対して、古典的ワイエルシュトラス関数 $\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \cos(2\pi b^n x)$ のグラフのハウスドルフ次元が正確に $2 + \log \lambda / \log b$ に等しいことを、不変測度の局所次元を含むレドリューピエの基準に基づく力学系の手法を用いて証明する。この結果は、連続的かつ至る所で微分不可能な関数のこのクラスに関して、長年の予想を裏付けるものである。

ABSTRACT

We show that the graph of the classical Weierstrass function $\sum_{n=0}^\infty λ^n \cos (2πb^n x)$ has Hausdorff dimension $2+\logλ/\log b$, for every integer $b\ge 2$ and every $λ\in (1/b,1)$. Replacing $\cos(2πx)$ by a general non-constant $C^2$ periodic function, we obtain the same result under a further assumption that $λb$ is close to $1$.

研究の動機と目的

• 古典的ワイエルシュトラス関数のグラフのハウスドルフ次元が $D = 2 + \log\lambda / \log b$ に等しいという長年の予想を解明すること。
• コサイン関数のケースを超えて、$\lambda b - 1$ に関する小さな条件を満たす一般の $C^2$ $\mathbb{Z}$-周期関数 $\phi$ に対してこの結果を拡張すること。
• 拡大自己同態に関連する不変測度の局所次元を用いたエルゴディック理論により、次元結果を確立すること。
• 力学系フレームワークにおける変更された横断的条件を検証し、レドリューピエの基準の適用を可能にすること。

提案手法

• $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ 上の拡大自己同態 $\Phi(x,y) = (bx \mod 1, (y - \hat{\phi}(x))/\lambda)$ を用い、その不変レプラーは $f_{\lambda,b}^\phi$ のグラフに一致する。
• レドリューピエの定理を適用し、ハウスドルフ次元問題を、$x \in (0,1)$ に対してレベーグほとんど everywhere で測度 $m_x$ の局所次元が 1 に等しいことを示すことに帰着する。
• 関数 $S(x,\mathbf{u}) = \sum_{n=1}^{\infty} \gamma^{n-1} \psi\left(\frac{x}{b^n} + \sum_{i=1}^n \frac{u_i}{b^i}\right)$ を $\gamma = 1/(\lambda b)$ および $\psi = \phi'$ で定義し、これは強い不安定多様体の傾きを表す。
• 測度 $m_x$ を、$\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^+}$ 上のベルヌーイ測度 $\mathbb{P}$ を $\mathbf{u} \mapsto S(x,\mathbf{u})$ で押し出すことによって構成する。
• 変更された横断的条件と dyadic クローズ内の測度の減衰に関する推定値を用い、$m_x$ の局所次元を制御する。
• ビrkhoffのエルゴディック定理およびEgorovの定理を用いて、典型的な軌道を分析し、グラフ測度の局所次元の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $b \geq 2$ および $\lambda \in (1/b, 1)$ に対して、ワイエルシュトラス関数 $W_{\lambda,b}$ のグラフのハウスドルフ次元は $D = 2 + \log \lambda / \log b$ に等しいか？
• RQ2 コサイン関数 $\cos(2\pi x)$ に限らず、一般の $C^2$ $\mathbb{Z}$-周期関数 $\phi$ に対しても、次元結果を拡張できるか？
• RQ3 $\lambda$ と $b$ にどのような条件を課すと、測度 $m_x$ の局所次元がほとんど everywhere で 1 に等しくなるか？
• RQ4 Tsujiiのフレームワークにおける横断的条件を、$\lambda \in (1/b, 1)$ の全範囲にわたって次元結果を証明するためにどのように適合できるか？

主な発見

• 整数 $b \geq 2$ および $\lambda \in (1/b, 1)$ に対して、$W_{\lambda,b}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \cos(2\pi b^n x)$ のグラフのハウスドルフ次元は正確に $2 + \log \lambda / \log b$ に等しい。
• 非定数の $C^2$ $\mathbb{Z}$-周期関数 $\phi$ に対しては、$K_0 = K_0(\phi,b) > 1$ が存在し、$1 < \lambda b < K_0$ ならば、$f_{\lambda,b}^\phi$ のグラフのハウスドルフ次元は $D = 2 + \log \lambda / \log b$ に等しい。
• 証明により、$x \in (0,1)$ に対してレベーグほとんど everywhere で測度 $m_x$ の局所次元が 1 に等しいことが示され、これによりレドリューピエの定理からグラフの次元が $D$ に等しいことが導かれる。
• この手法により、ボックス次元およびパッキング次元が $D$ に等しいことは既に知られていたが、古典的ワイエルシュトラス関数に関しては、この予想が未解決のままだった。
• 変更された横断的条件の検証と、dyadic クローズ内での測度の減衰を制御するためのエルゴディック理論の使用により、結果が得られた。