[論文レビュー] Hausdorff property of the Neron models of Green, Griffiths and Kerr

Morihiko Saito|ArXiv.org|Mar 19, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、グリーン、グリフィス、カーが構成した中間ヤコビアンのネロンモデルのハウスドルフ性を、無限遠の除数が滑らかであるという仮定の下で証明する。ザッカー拡張におけるノルム推定と、適切な正則関数に関する結果を組み合わせることで、このような関数のゼロ集合の閉包が解析的であることを示し、ホッジ理論におけるゼロ集合の代数的性に関する予想の重要なケースを確認する。

ABSTRACT

We prove the Hausdorff property of the Neron modle of the family of intermediate Jacobians which is recently defined by Green, Griffiths and Kerr assuming that the divisor at infinity is smooth. Using their result, this implies in this case the analyticity of the closure of the zero locus of an admissible normal function. The last assertion is also obtained by Brosnan and Pearlstein generalizing their method in the curve case.

研究の動機と目的

• グリーン、グリフィス、カーが定義した中間ヤコビアンのネロンモデルのハウスドルフ性を確立すること。
• 無限遠の除数が滑らかであるとき、適切な正則関数のゼロ集合の閉包が解析的であることを証明すること。
• 重み $ w = -1 $ の場合に予想2（ゼロ集合の閉包の解析的性）を検証し、局所コホモロジー不変量が torsion である条件の下で $ w < -1 $ へ拡張すること。
• ザッカー拡張フレームワークにおけるノルム推定を用いて、曲線の場合の結果を高次元のベース多様体へ一般化すること。

提案手法

• 局所コホモロジー不変量に基づく分解を用いて、問題を単調な局所モノドロミーの場合に還元する。
• 複素リー群としてのザッカー拡張 $ J^Z_{\bar{S}}(\mathbf{H}) = \widehat{\mathcal{V}} / \widehat{\Gamma} $ を $ \bar{S} $ 上で用い、ここで $ \widehat{\mathcal{V}} $ はホッジバンドルのデリーニュ拡張である。
• デリーニュ拡張におけるホッジノルムのノルム推定を適用し、境界除数 $ D $ 近傍におけるザッカー拡張の位相を制御する。
• 正則関数 $ \nu $ の多価的リフト $ \widetilde{\nu} $ を用い、$ \Gamma $ および $ \frac{1}{m}\widehat{\Gamma} $ との交差を分析することでゼロ集合を研究する。
• 局所コホモロジー不変量が消えるとき $ \widetilde{\nu}^\prime(0) \in J^{\mathrm{GGK}}_{\bar{S}}(\mathbf{H})^0 $ であるという事実を用い、コロナリー (2.7) の適用を可能にする。
• ネロンモデルが成分 $ Y_\nu $ の和集合として特定されることを活用し、$ \frac{1}{m}\widehat{\Gamma} $ 内の近傍による点の分離を示すことによりハウスドルフ性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠の除数が滑らかであるとき、適切な正則関数のゼロ集合の閉包は解析的か？
• RQ2 境界除数が滑らかであるとき、中間ヤコビアンのネロンモデル $ J^{\mathrm{GGK}}_{\bar{S}}(\mathbf{H}) $ はハウスドルフ分離公理を満たすか？
• RQ3 局所コホモロジー不変量が torsion であるとき、重み $ w = -1 $ および $ w < -1 $ に対してゼロ集合の解析的性が確立できるか？
• RQ4 ブロスナンとピアルスタインの曲線の場合の結果は、どの程度高次元のベース空間へ一般化可能か？

主な発見

• 無限遠の除数が滑らかで $ w = -1 $ のとき、ネロンモデル $ J^{\mathrm{GGK}}_{\bar{S}}(\mathbf{H}) $ はハウスドルフである。
• 除数 $ D $ が滑らかで $ w = -1 $ のとき、適切な正則関数のゼロ集合の閉包は $ \bar{S} $ 内で解析的である。
• 局所コホモロジー不変量が非ゼロでモノドロミーが単調であるとき、ゼロ集合の閉包は完全に $ S $ 内にあり、$ D $ とは交差しない。
• $ w < -1 $ の場合、局所コホモロジー不変量が torsion であれば同様の結論が成り立つ。
• 局所コホモロジー不変量が非ゼロでモノドロミーが単調であるとき、境界除数 $ D $ の近傍ではゼロ集合は空である。
• 証明はザッカー拡張におけるノルム推定と、整数格子によるデリーニュ拡張の商としてのネロンモデルの構造に依存している。