[論文レビュー] Hautus--Yamamoto criteria for approximate and exact controllability of linear difference delay equations

Yacine Chitour, Sébastien Fueyo+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、山本の実現理論を用いて、有限次元線形差分遅延方程式の近似的および正確な可制御性について周波数領域における必要十分条件を確立する。ラプラス領域におけるHautus–Yamamoto基準を提示し、最小可制御時間の明示的上限を $ d \max\{\Lambda_1,\dots,\Lambda_N\} $ として導出する。また、$ L^q $ および $ L^1 $ の設定において、複素平面における円上に稠密な可算集合にゼロが存在しないことによって可制御性を特徴付ける。

ABSTRACT

The paper deals with the controllability of finite-dimensional linear difference delay equations, i.e., dynamics for which the state at a given time $t$ is obtained as a linear combination of the control evaluated at time $t$ and of the state evaluated at finitely many previous instants of time $t-Λ_1,\dots,t-Λ_N$. Based on the realization theory developed by Y.Yamamoto for general infinite-dimensional dynamical systems, we obtain necessary and sufficient conditions, expressed in the frequency domain, for the approximate controllability in finite time in $L^q$ spaces, $q \in [1, +\infty)$. We also provide a necessary condition for $L^1$ exact controllability, which can be seen as the closure of the $L^1$ approximate controllability criterion. Furthermore, we provide an explicit upper bound on the minimal times of approximate and exact controllability, given by $d\max\{Λ_1,\dots,Λ_N\}$, where $d$ is the dimension of the state space.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、有限時間における線形差分遅延方程式の近似的および正確な可制御性について、必要十分条件を確立することである。
• 既存の可制御性基準を、遅れ型または単一遅延のケースにとどまらず、複数の遅延、特に有理的に独立な遅延を含むシステムへと一般化することである。
• 特に $ L^q $ および $ L^1 $ の制御空間における差分遅延系の可制御性に関する文献の空白を埋めることである。
• システムの次元および遅延構造に依存する、可制御性に要する最小時間の明示的上界を提供することである。
• 複素平面における正則行列関数および周波数領域におけるBézout型恒等式を通じて、可制御性の幾何学的および代数的特徴づけを導出することである。

提案手法

• 分析は、山本の無限次元実現理論に基づく。この理論は、行列値分布 $ (P, Q) $ を用いてシステムをモデル化し、可制御性の周波数領域における定式化を可能にする。
• 本稿ではラプラス変換を用いて、時領域における差分遅延方程式を正則行列関数 $ H(p) $ に変換する。ここで $ H(p) = I - \sum_{j=1}^N e^{-p\Lambda_j} A_j $ と定義され、システムの入出力特性を特徴付ける。
• 可制御性は、ある $ p \in \mathbb{C} $ に対して $ \text{rank}[H(p), B] < d $ が成り立つことで周波数領域で非可制御性を特定する。
• $ L^q $ 近似的可制御性に関しては、システムが可制御であるための必要十分条件は、$ 0 \notin \bigcup_{j=1}^k S_j $ である。ここで $ S_j $ は、ある行列方程式の根から導かれる円 $ C_j $ 上の可算かつ稠密な集合である。
• $ L^1 $ 精確可制御性に関しては、必要条件として $ 0 \in \bigcup_{j=1}^k C_j $ が成り立つ。ここで $ C_j $ は、関連する行列組み合わせの固有値によって定義される円である。
• 本手法はBézoutの恒等式および正則関数論を活用し、複素平面における行列方程式の可解性に可制御性を帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形差分遅延方程式の $ L^q $ 近似的可制御性について、有限時間における必要十分条件は何か？
• RQ2 複数の遅延を含むシステムにおいて、近似的または正確な可制御性に要する最小時間はどのように特定できるか？
• RQ3 遅延の有理的独立性が可制御性の性質を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 $ d=3 $, $ N=2 $, $ m=1 $ のシステムについて、複素平面における軌跡を用いた幾何的特徴づけは可能か？
• RQ5 $ L^1 $ 精確可制御性と $ L^1 $ 近似的可制御性基準の閉包との正確な関係は何か？

主な発見

• システムが時間 $ T $ で $ L^q $ 近似的に可制御であるための必要十分条件は、$ \text{rank}[H(p), B] < d $ を満たす $ p \in \mathbb{C} $ が存在しないことである。ここで $ H(p) = I - \sum_{j=1}^N e^{-p\Lambda_j} A_j $ である。
• $ N=2 $, $ d=3 $, $ m=1 $ の場合、非可制御性周波数の集合は、複素平面における円 $ C_j $ の上に稠密な高々4つの可算集合 $ S_j $ の和集合に含まれる。
• $ 0 \in \bigcup_{j=1}^k C_j $ である場合、システムは $ L^1 $ に正確に可制御でない。ここで $ C_j $ は、$ A_1 $, $ A_2 $ および遅延パrameterを含む行列組み合わせの固有値から導かれる円である。
• 近似的または正確な可制御性に要する最小時間は、$ d \max\{\Lambda_1, \dots, \Lambda_N\} $ で上から抑えられ、特定の状況では等号が成立する可能性がある。
• $ N=2 $, $ d=3 $, $ m=1 $ および $ r_0 = 3 $ の場合、異なる円 $ C_j $ の数は高々4つであり、これは行列方程式から導かれる2つの二次曲線の交点数に一致する。
• 本結果は、$ N=d=2 $, $ m=1 $ の場合の既存の結果を一般化し、正則行列関数および複素平面における幾何的軌跡を用いることで、高次元および複数遅延への拡張を達成している。