[論文レビュー] Hawkes Graphs

Paul Embrechts, Matthias Kirchner|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、グラフ理論的概念を用いて多次元 Hawkes プロセスの分岐構造をコン act に表現するための Hawkes スケルトンおよび Hawkes グラフを導入する。複雑さとスパarsity を制御する2つの調整パラメータを備えた非パラメトリック推定手法を提案し、制限的なパラメトリック仮定を避けながら、高次元のイベントストリームの効率的で柔軟なモデリングと適合を可能にする。

ABSTRACT

This paper introduces the Hawkes skeleton and the Hawkes graph. These objects summarize the branching structure of a multivariate Hawkes point process in a compact, yet meaningful way. We demonstrate how graph-theoretic vocabulary (`ancestor sets', `parent sets', `connectivity', `walks', `walk weights', ...) is very convenient for the discussion of multivariate Hawkes processes. For example, we reformulate the classic eigenvalue-based subcriticality criterion of multitype branching processes in graph terms. Next to these more terminological contributions, we show how the graph view may be used for the specification and estimation of Hawkes models from large, multitype event streams. Based on earlier work, we give a nonparametric statistical procedure to estimate the Hawkes skeleton and the Hawkes graph from data. We show how the graph estimation may then be used for specifying and fitting parametric Hawkes models. Our estimation method avoids the a priori assumptions on the model from a straighforward MLE-approach and is numerically more flexible than the latter. Our method has two tuning parameters: one controlling numerical complexity, the other one controlling the sparseness of the estimated graph. A simulation study confirms that the presented procedure works as desired. We pay special attention to computational issues in the implementation. This makes our results applicable to high-dimensional event-stream data, such as dozens of event streams and thousands of events per component.

研究の動機と目的

• 多次元 Hawkes プロセスの分岐構造を分析するためのグラフ理論的フレームワークを提供すること。
• 祖先集合や接続性といったグラフ用語を用いて、古典的な劣拡散性基準を再定式化すること。
• 大規模な多型イベントストリームから Hawkes スケルトンおよびグラフを推定する非パラメトリック手順を開発すること。
• 推定されたグラフ構造を用いて、パラメトリック Hawkes モデルの柔軟な指定と適合を可能にすること。
• 高次元データ、例えば数十本のイベントストリームにそれぞれ数千件のイベントが含まれるような状況における計算スケーラビリティを確保すること。

提案手法

• 多次元 Hawkes プロセスにおけるイベントタイプ間の直接的因果的影響を表す有向グラフとして Hawkes スケルトンを定義する。
• ウォークやウォーク重みを通じた間接的影響を捉える重み付きグラフとして Hawkes グラフを導入する。
• 強いパラメトリック仮定を避けるために、データから Hawkes スケルトンおよびグラフを非パラメトリック統計的手法で推定する。
• 数値的複雑さ（例：カーネル推定におけるバンド幅）を制御するための1つの調整パラメータと、スパarsity を制御するためのもう1つの調整パラメータ（例：影響推定値のしきい値処理）を組み込む。
• 固有値に基づく劣拡散性条件を、影響行列の接続性およびスペクトル的性質を用いたグラフ的用語に再定式化する。
• 推定されたグラフを活用して、パラメトリック Hawkes モデルの指定と適合を支援し、数値的安定性と解釈可能性を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 祖先、親、ウォークといったグラフ理論的概念を用いて、多次元 Hawkes プロセスの分岐構造をどのように記述できるか。
• RQ2 古典的な固有値に基づく劣拡散性基準を、グラフの接続性およびウォーク重みの観点から再定式化できるか。
• RQ3 大規模で高次元のイベントストリームから、Hawkes スケルトンおよびグラフを非パラメトリックにどのように推定できるか。
• RQ4 調整パラメータの選択が、推定されたグラフのスパarsity および数値的複雑さに与える影響は何か。
• RQ5 推定されたグラフ構造は、標準的な MLE 手法と比較して、パラメトリック Hawkes モデルの指定と適合にどのように寄与できるか。

主な発見

• 劣拡散性条件のグラフ理論的再定式化により、多次元 Hawkes プロセスの分析に向けたより直感的で解釈可能なフレームワークが得られた。
• 提案された非パラメトリック推定手法は、シミュレーションスタディにおいて、Hawkes プロセスの元の分岐構造を効果的に回復できた。
• 標準的な最尤推定法に内在する制限的なパラメトリック仮定を回避することで、モデルの柔軟性が向上した。
• 2つの調整パラメータを用いた設計により、推定グラフの計算的複雑さとスパarsity の両方を効果的に制御できるようになった。
• 本手法は数値的ロバストネスとスケーラビリティを示し、数十本のイベントストリームにそれぞれ数千件のイベントが含まれるような高次元データに適していることがわかった。
• 推定されたグラフ構造は、パラメトリック Hawkes モデルの指定と適合を効果的に支援でき、推定性能の向上が見られた。