[論文レビュー] Hawkes Processes with Stochastic Excitations

Young Lee, Kar Wai Lim+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 37被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、自己励起強度を確率微分方程式（SDE）に従う確率過程としてモデル化する、ハーケス過程のための新規ベイジアンフレームワークを提案する。これにより、動的で相関のある伝染効果を扱える。手法は、ギブスおよびメトロポリス・ハスティングスステップを組み合わせたスケーラブルなO(n)ハイブリッドMCMCアルゴリズムを用い、EMおよびボラティリティモデリングへの接続も示す。

ABSTRACT

We propose an extension to Hawkes processes by treating the levels of self-excitation as a stochastic differential equation. Our new point process allows better approximation in application domains where events and intensities accelerate each other with correlated levels of contagion. We generalize a recent algorithm for simulating draws from Hawkes processes whose levels of excitation are stochastic processes, and propose a hybrid Markov chain Monte Carlo approach for model fitting. Our sampling procedure scales linearly with the number of required events and does not require stationarity of the point process. A modular inference procedure consisting of a combination between Gibbs and Metropolis Hastings steps is put forward. We recover expectation maximization as a special case. Our general approach is illustrated for contagion following geometric Brownian motion and exponential Langevin dynamics.

研究の動機と目的

• 励起強度が時間とともに一定でないが、確率的に変化する自己励起点過程をモデル化すること。
• 古典的ハーケス過程が固定された励起パラメータを仮定するという限界を克服し、ランダムで時間変動する伝染レベルを導入すること。
• このようなモデルのためのスケーラブルで取り扱いやすい推論手順を開発すること。標準的なシミュレーション手法のO(n²)の複雑さを回避すること。
• 金融伝染、犯罪の波及、ゲノム的イベントクラスタリングなどの応用分野において、相関的かつ加速的なイベントダイナミクスを柔軟にモデル化すること。
• 提案モデルとEMやファイナンスにおけるボラティリティモデリングといった既存フレームワークとの理論的・アルゴリズム的接続を確立すること。

提案手法

• 励起強度が確率微分方程式（SDE）に従う完全ベイジアンモデルを提案。これにより、自己励起のレベルが確率過程として時間的に変化することを可能にする。
• 潜在的強度経路とモデルパラメータの後立確率分布からの推論のため、ギブスサンプリングとメトロポリス・ハスティングスステップを組み合わせたハイブリッドマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）アルゴリズムを導入。
• イベント数に線形に比例する（O(n)）スケーリングを実現するシミュレーションスキームを設計。これは、オガタのスプライシング法のナイーブな実装のO(n²)の複雑さを改善する。
• 期待強度のための再生方程式を導出。E[λ_t]がSDE駆動の励起プロセスの平均を含む畳み込みに従って変化することを示す。
• 2つのSDE（幾何ブラウン運動と指数型ランジュバンダイナミクス）にフレームワークを適用。不規則な時間間隔に対応した推論手順を適応させる。
• 先行研究（例：Simma & Jordan, 2010）の潜在変数構造を活用し、完全ベイジアン推論パイプラインにモデルを統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己励起点過程は、どのようにして励起強度が時間的に確率的に変化するように拡張可能か？
• RQ2 励起レベルをSDEとしてモデル化することで、点過程モデルにおける推論のスケーラビリティと精度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 自己励起が確率的であるハーケス過程の後立分布から効率的にサンプリングするためのハイブリッドMCMCアルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 提案モデルは、古典的ハーケス過程における期待最大化（EM）アルゴリズムとどのように関連しているか？
• RQ5 本モデルは、金融危機や犯罪の波及といった現実世界の現象における相関的かつ加速的ダイナミクスをどの程度正確に捉えることができるか？

主な発見

• 提案モデルは、励起レベルをSDEに従う確率過程として扱うことで、古典的ハーケス過程を一般化し、動的で相関のある伝染効果を可能にする。
• ハイブリッドMCMCアルゴリズムは、シミュレーションおよび推論においてO(n)の計算複雑度を達成し、標準的なスプライシング法のO(n²)の複雑度を顕著に上回る。
• 励起レベルが固定されている場合、モデルは古典的EMアルゴリズムを特別なケースとして回復する。これにより、ベイジアン推論とEMとの間の理論的接続を確立する。
• 期待強度E[λ_t]は、SDE駆動の励起プロセスの平均に依存する再生型方程式を満たし、長期的挙動に関する解析的洞察を可能にする。
• フレームワークは柔軟かつ拡張可能であり、幾何ブラウン運動や指数型ランジュバンダイナミクスといったさまざまなSDEをサポートする。不規則な時間間隔に対応した推論手順も適応可能である。
• モデルは、相関的かつ加速的なイベントクラスタリングを効果的に捉えることができ、金融、犯罪学、ゲノム分野における応用に適している。