[論文レビュー] hbar-expansion of KP hierarchy: Recursive construction of solutions

Takashi Takebe, Kanehisa Takasaki|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、LaxおよびOrlov-Schulman作用素に対するRiemann-Hilbert問題を用いて、$\hat{\mathcal{L}}$-拡張KP階層の解を再帰的に構成する手法を提示する。ドレッシング作用素を$W = \exp(X/\hbar)$と仮定し、$X = X_0 + \hbar X_1 + \cdots$とおくと、係数$X_n$は$X_0$から再帰的に決定され、WKB型の波動関数$\Psi = \exp(S/\hbar)$と、$\log\tau = \hbar^{-2}F_0 + \hbar^{-1}F_1 + F_2 + \cdots$という$\hbar$-展開が得られ、これは弦理論の種数展開を一般化する。

ABSTRACT

The \hbar-dependent KP hierarchy is a formulation of the KP hierarchy that depends on the Planck constant \hbar and reduces to the dispersionless KP hierarchy as \hbar -> 0. A recursive construction of its solutions on the basis of a Riemann-Hilbert problem for the pair (L,M) of Lax and Orlov-Schulman operators is presented. The Riemann-Hilbert problem is converted to a set of recursion relations for the coefficients X_n of an \hbar-expansion of the operator X = X_0 + \hbar X_1 + \hbar^2 X_2 +... for which the dressing operator W is expressed in the exponential form W = \exp(X/\hbar). Given the lowest order term X_0, one can solve the recursion relations to obtain the higher order terms. The wave function Ψassociated with W turns out to have the WKB form Ψ= \exp(S/\hbar), and the coefficients S_n of the \hbar-expansion S = S_0 + \hbar S_1 + \hbar^2 S_2 +..., too, are determined by a set of recursion relations. This WKB form is used to show that the associated tau function has an \hbar-expansion of the form \logτ= \hbar^{-2}F_0 + \hbar^{-1}F_1 + F_2 + ...

研究の動機と目的

• KP階層の$\hbar$-依存するRiemann-Hilbert問題の一般設定における解の存在を解明すること。
• ドレッシング作用素$W$の高次$\hbar$-展開項を、先期項$X_0$から再帰的フレームワークで構成すること。
• $W = \exp(X/\hbar)$に対応する波動関数がWKB形$\Psi = \exp(S/\hbar)$（$S = S_0 + \hbar S_1 + \cdots$）をとることを示し、$S_n$の再帰的関係式を導出すること。
• $\log\tau = \hbar^{-2}F_0 + \hbar^{-1}F_1 + F_2 + \cdots$という$\hbar$-展開を一般化し、弦理論およびランダム行列モデルと関連付けること。

提案手法

• ドレッシング作用素が$W = \exp(X/\hbar)$の形をとり、$X = X_0 + \hbar X_1 + \hbar^2 X_2 + \cdots$と展開できることを仮定し、解の$\hbar$-展開を可能にする。
• Campbell-Hausdorff公式を用いて、最低次の項$X_0$から$X_n$の係数の再帰的関係式を導出する。$X_0$は分散なしKP階層を満たす。
• Aokiの微分作用素の指数型計算を用い、$W$の$\hbar$-展開と波動関数$\Psi = \exp(S/\hbar)$の展開を関連付け、$S_n$の再帰的関係式を導出する。
• 波動関数から$\tau$関数の$\hbar$-展開を導出し、$\log\tau = \hbar^{-2}F_0 + \hbar^{-1}F_1 + F_2 + \cdots$の形が得られ、$F_0$, $F_1$などは再帰的に決定される。
• Riemann-Hilbert問題を用いた明示的計算により、$P^{(i)}$および$Q^{(i)}$から$\hbar$-次数の寄与を抽出し、$X_n$を反復的に解く。
• Kontsevichモデルに対してこの手法を検証し、再帰的関係式を用いて$X_1$, $X_2$, $X_3$を明示的に計算し、$\hbar^{-3}$次数まで一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散なしKP階層の先期解から、$\hbar$-依存KP階層の解を再帰的に構成する方法は何か？
• RQ2 ドレッシング作用素$W = \exp(X/\hbar)$における$\hbar$-展開の正確な構造は何か？係数$X_n$はどのように決定されるか？
• RQ3 このようなドレッシング作用素に対応する波動関数$\Psi$はWKB型展開$\Psi = \exp(S/\hbar)$をとるか？その場合、係数$S_n$は再帰的にどのように計算されるか？
• RQ4 $\tau$関数の$\hbar$-展開は波動関数からどのように導かれるか？一般形は$F_0$, $F_1$, $F_2$, ...の形でどのように表されるか？
• RQ5 この再帰的手法は、Kontsevichモデルのような具体的なモデルに明示的に適用可能か？高次$\hbar$-補正を計算できるか？

主な発見

• Riemann-Hilbert問題から導かれる再帰的関係式により、$W = \exp(X/\hbar)$における作用素$X$の$\hbar$-展開係数$X_n$が$X_0$から再帰的に決定される。
• 波動関数$\Psi$はWKB形$\Psi = \exp(S/\hbar)$（$S = S_0 + \hbar S_1 + \hbar^2 S_2 + \cdots$）をとることが示され、$S_n$は同一の枠組みから再帰的に計算される。
• $\tau$関数は$\log\tau = \hbar^{-2}F_0 + \hbar^{-1}F_1 + F_2 + \cdots$という$\hbar$-展開をもち、これは弦理論およびランダム行列モデルにおける種数展開を一般化する。
• Kontsevichモデルに対して、$X_1 = \frac{x}{4}(\hbar\partial)^{-2} - \frac{3x^2}{32}(\hbar\partial)^{-4} + \cdots$, $X_2 = -\frac{5}{48}(\hbar\partial)^{-3} + \frac{11x}{64}(\hbar\partial)^{-5} + \cdots$, および$X_3 = -\frac{15}{128}(\hbar\partial)^{-6} + \frac{175x}{768}(\hbar\partial)^{-8} + \cdots$が明示的に計算され、再帰的構造が確認される。
• 再帰的関係式は$\hbar^{-3}$次数まで一貫しており、$P^{(3)}$および$Q^{(3)}$がこの次数で微分作用素に変わるため、手法の妥当性が検証される。
• $\alpha_i$の積分において$\log\xi$項が存在しないことから、$i=1,2,3$に対して$\alpha_i = 0$であることが示され、波動関数の$\hbar$-展開における対数的特異性の不在が保証される。