[論文レビュー] HD0L-$ω$-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy)

Fabien Durand|Nov 2, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Rauzyの誘導法と還ってくる単語の解析を活用することで、原始的モーフィズム列におけるHD0L ω同値性および周期性問題の決定可能性を確立する。周期的であるモーフィズム列の周期性は、計算可能な上限まで還ってくる単語をアルゴリズム的に計算することにより決定可能であり、二つの原始的モーフィズムが同じ列を生成するのは、還ってくる単語の条件を満たす場合に限り、共通のべきを共有する。

ABSTRACT

In this paper I would like to witness the mathematical inventiveness of G. Rauzy through personnal exchanges I had with him. The objects that will emerge will be used to treat the decidability of the HD 0 L $ω$-equivalence and periodicity problems in the primitive case.

研究の動機と目的

• 原始的ケースにおける長年の未解決問題であるHD0L ω同値性問題を解決し、二つのモーフィズム列が等しいかどうかの決定可能性を証明すること。
• Gérard Rauzyが導出した導出列の周期性に関する洞察を、一般化されたアルゴリズム的枠組みへと拡張すること。
• 同じ固定点を生成する二つの原始的置換が、必ず共通の非自明なべきをもつための条件を確立すること。
• 原始性のもとで、モーフィズム列の最終的周期性に関する決定可能な基準を提供すること。
• 還ってくる単語構造を力学系および置換力学系と結びつけることで、モーフィズム列に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 特定の接頭辞に対する還ってくる単語に注目することで、繰り返し導出列構成（Rauzy誘導）を用いてモーフィズム列を段階的に分析する。
• 還ってくる単語写像 λ_n を用い、元の列の還ってくる単語構造とモーフィズム φ による符号化列との関係を定式化する。
• 周期性をテストするために必要な反復回数を制限する計算可能な上限 K = (4K_σ³)^{|σ|K_σ²+1}(K_σ+1)^{K_σ²} を用いる。
• 問題を、ある i < K に対して φ(u_i) に対する還ってくる単語の数がちょうど1つであるかどうかの確認に還元する。
• 一様再帰性と鳩の巣原理により、繰り返される (λ_i, σ_i) のペアが、最終的周期性を示すことを活用する。
• モーフィズムの合成により一般ケースをエラーを含まない符号化への還元を行い、アルゴリズム的実行可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的モーフィズムによって生成される二つのモーフィズム列が等しいかどうか、すなわち原始的ケースにおけるHD0L ω同値性が決定可能かどうかは？
• RQ2 原始的モーフィズムによって生成されるモーフィズム列の周期性は、アルゴリズム的に決定可能か？
• RQ3 同じ固定点を生成する二つの原始的置換が、常に共通の非自明なべきをもつための条件は何か？
• RQ4 符号化のもとでモーフィズム列の還ってくる単語構造は、周期性を決定するのに十分な情報を保持しているか？
• RQ5 Rauzy誘導法を用いて、モーフィズム列における最終的周期性をアルゴリズム的に検出できるか？

主な発見

• 原始的モーフィズムにおけるHD0L ω同値性問題は決定可能であり、二つのモーフィズム列の等価性をテストする構成的アルゴリズムが与えられる。
• 原始的モーフィズムによって生成されるモーフィズム列の周期性は決定可能であり、周期性を検出するために必要な導出列構成の反復回数に上限 K が存在する。
• ある接頭辞に対する還ってくる単語ベクトルが ℤ^d を生成する場合、同じ列を生成する二つの原始的モーフィズムは、共通のべきをもつ必要がある。
• 2文字アルファベット上の可逆置換について、同じ固定点をもつならば、還ってくる単語ベクトルが ℤ² を張るため、非自明な共通のべきをもつ。
• 周期性のアルゴリズム的テストは、K 未満の i について φ(u_i) に対する還ってくる単語の個数を計算することに依存し、K はモーフィズムのパrameterに依存する計算可能な指数的上限である。
• Cobhamの定理をモーフィズム列へと拡張し、α および β が乗法的に独立なPerron数であるような α-および β-置換的であるような列は、最終的周期的でない限り、同時に成立し得ないことを示した。