[論文レビュー] Heat and generalized Clausius entropy of nonextensive systems

Sumiyoshi Abe|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2000

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Tsallisエントロピーをフレームワークとして用いて、非拡張的熱力学の巨視的理論を展開し、エントロピーが非拡張的である場合、一般化されたクラウジウスのエントロピーが修正されなければならないことを示している。また、微視的および巨視的記述を結ぶ係数 $k$ が理論から取り除けないことが示され、非拡張性が論理的レベルで原子論的性質を内包していることを示唆している。

ABSTRACT

Macroscopic nonextensive thermodynamics is studied without recourse to microscopic statistical mechanics. It is shown that if entropy is nonextensive, the concept of physical temperature introduced through the generalized zeroth law of thermodynamics necessarily leads to modifications of the first law of thermodynamics and some of thermodynamic relations including Clausius definition of thermodynamic entropy. It is also shown, by applying this generalized Clausius entropy to a composite nonextensive system, how the nonextensive entropy and the quantity of heat consistently behave in an arbitrary thermodynamic process. An important point emerging from this is that the entropy coefficient, which connects the microscopic and macroscopic concepts, cannot be removed from the macroscopic nonextensive theory. This fact suggests that nonextensivity may require atomism for macroscopic thermodynamics at a logical level.

研究の動機と目的

• 微視的統計力学に依存せずに、非拡張的系の巨視的熱力学的枠組みを構築すること。
• 一般化された第零法則が、非拡張的系における物理的温度の定義をどのように修正するかを調査すること。
• 特にTsallisエントロピーを対象として、クラウジウスの熱力学的エントロピーの定義を非拡張的エントロピーに再定式化すること。
• 任意の熱力学的過程において、合成非拡張的系における熱およびエントロピーの振る舞いを分析すること。
• エントロピー係数 $k$ が巨視的非拡張的熱力学から取り除けないことを示すこと、すなわち、原子論的性質が論理的に不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 非拡張性の具体例として、$q \neq 1$ であるエントロピー指数 $q$ を持つTsallis非拡張エントロピー $S_q$ を用いる。
• 一般化された第零法則を適用し、エネルギー固定下でのエントロピー最大化から得られる分離定数 $\beta^*$ を用いて、物理的温度 $T_{\text{phys}} = (k \beta^*)^{-1}$ を定義する。
• 修正されたクラウジウスのエントロピー関係 $dS_q = \frac{1}{T_{\text{phys}}} \left(1 - \frac{1}{k} \right) \delta Q'$ を導入し、ここで $\delta Q'$ は一般化された熱を表す。
• 物理的自由エネルギー $F = U - T_{\text{phys}} \left( k c_q \ln \frac{1}{k c_q} \right)$ を導出し、物理的温度と整合性を保つようにする。
• Legendre変換構造を用いて状態方程式および比熱を導出し、非拡張性下でも標準的な形を保つようにする。
• 合成系の解析に、$S_q(A+B) = S_q(A) + S_q(B) + (1-q)k S_q(A) S_q(B)$ という擬似加法性を用い、熱およびエントロピー移動の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された第零法則は、非拡張的系における物理的温度の定義をどのように修正するか？
• RQ2 エントロピーが非拡張的である場合、一般化されたクラウジウスのエントロピーの正しい形は何か？
• RQ3 任意の熱力学的過程において、合成非拡張的系における熱移動およびエントロピー変化はどのように振る舞うか？
• RQ4 エントロピー係数 $k$ は巨視的非拡張的熱力学から取り除けるか？
• RQ5 修正された熱力学的枠組みは、状態方程式および比熱の標準的形を保っているか？

主な発見

• 一般化されたクラウジウスのエントロピー関係は、$dS_q = \frac{1}{T_{\text{phys}}} \left(1 - \frac{1}{k} \right) \delta Q'$ に修正され、ここで $\delta Q'$ は一般化された熱移動を表す。
• 物理的温度は $T_{\text{phys}} = (k \beta^*)^{-1}$ として定義され、$\beta^*$ は固定エネルギー下での全エントロピー最大化から得られる。
• 合成系では、全エントロピー変化が $S_q(A+B) = \frac{1}{k} \left[ \left(1 - \frac{1}{k} \right) \ln \left( \int \frac{\delta Q'}{T_{\text{phys}}} \right) \right]^{-1}$ と与えられ、擬似加法性則と整合的である。
• エントロピー係数 $k$ はすべての巨視的関係に明示的に現れ、取り除けないため、非拡張的熱力学において原子論的性質が論理的に不可欠であることを示唆している。
• 物理的自由エネルギー $F = U - T_{\text{phys}} \left( k c_q \ln \frac{1}{k c_q} \right)$ は、熱力学的関係の標準的形を保っている。
• 状態方程式および比熱はそれぞれ、$P_{\text{phys}} = -\partial F / \partial V$ および $C_{V,q} = -T_{\text{phys}} \partial^2 F / \partial T_{\text{phys}}^2$ という標準的形を保っている。