[論文レビュー] Heat Conduction in Low Dimensions: From Fermi-Pasta-Ulam Chains to Single-Walled Nanotubes

Peter Grassberger, Lei Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2002

Graphene research and applications参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本研究では、周期的横方向境界を有する長方形系を用いて単層カーボンナノチューブをモデル化し、Fermi-Pasta-Ulam (FPU) $\beta$ モデルを用いて低次元非調和格子内の熱伝導をシミュレーションした。1次元および2次元両方の系で熱伝導率 $\kappa$ が $L^{\alpha}$ のべき乗則的発散を示すことが判明したが、2次元系では対数的発散ではなくべき乗的発散（$\alpha \approx 0.22 \pm 0.03$）であり、1次元から2次元への遷移は系サイズに依存して発散する横長比 $r^* \sim L^{0.65}$ で発生するため、長大なナノチューブですら完全に1次元的挙動を示さない可能性がある。

ABSTRACT

Heat conduction in 1-dimensional anharmonic systems is anomalous in the sense that the conductivity κscales with a positive power of the system size, κ~ L^α. In two dimensions, previous simulations and theoretical arguments gave a logarithmic divergence. For rectangular systems of size L_\| x L_\perp there should be a cross-over from the 2-d to the 1-d behaviour as the aspect ratio r = L_\| / L_\perp increases from r=1 to r >> 1. When taking periodic boundary conditions in the transverse direction, this should be of direct relevance for the heat conduction in single-walled carbon nanotubes. In particular, one expects that k nanotubes of diameter R should conduct heat better than a single nanotube of the same length and of radius kR. We study this cross-over numerically by simulating the Fermi-Pasta-Ulam model. Apart from giving a precise estimate of the exponent α, our most intriguing results are that the divergence does not seem to be logarithmic in d=2 but also power-like, and that the cross-over does not happen at a fixed aspect ratio. Instead, it happens at r=r^* with r^* -> \infty for L -> \infty.

研究の動機と目的

• 周期的横方向境界を有する2次元非調和格子における熱伝導率 $\kappa$ のサイズ依存性を調査すること。
• 2次元系において熱伝導率が対数的発散するか、べき乗則的発散するかを特定すること。
• 横長比 $r = L_\parallel / L_\perp$ の関数として、長方形系における1次元から2次元への熱伝導挙動の遷移を研究すること。
• これらの結果が単層カーボンナノチューブにおける熱輸送にどのように関連するかを評価すること。
• 幅の狭いナノチューブが、同じ断面積を持つ1つの広いナノチューブよりも熱伝導効率が高いかどうかを評価すること。

提案手法

• 横方向（$j$方向）に周期的境界条件を適用した正方格子上でのFPU-$\beta$ モデルの数値的シミュレーション。
• 温度勾配を維持するために、両端（$i=1$ および $i=N_x$）にNos\'e-Hoover熱バスを用い、$T_h=10$、$T_c=6$、応答時間 $\Theta=1$ とした。
• 積分誤差を統計的フラクチュエーションに対して最小限に抑えるために、$dt=0.05$ のループ・フロント積分法を用いて運動方程式を解いた。
• エネルギーフラックス $J$ と境界温度差から得られる温度勾配 $\nabla T$ を用いて、$\kappa = J / \nabla T$ として熱伝導率を定義した。
• 漸近的挙動と遷移ダイナミクスを抽出するために、$\kappa = N_x^{\alpha'} \phi(N_y / N_x^\beta)$ のアンザッツを用いたスケーリング解析を行った。
• 有限サイズ効果および積分誤差を評価するために、グローバルおよび中央の熱伝導率推定値（$\kappa_{\rm global}$、$\kappa_{\rm center}$）を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元FPU格子における熱伝導率は、系サイズに伴い対数的発散するか、べき乗則的発散するか？
• RQ2 1次元から2次元への熱伝導挙動の遷移は、どの横長比 $r = L_\parallel / L_\perp$ で発生するか？
• RQ3 系サイズが増大するに従い、遷移横長比 $r^*$ は有限のままか、それとも発散するか？
• RQ4 同じ全断面積を持つ1つの広いナノチューブよりも、幅の狭い2つのナノチューブの熱伝導率は高いか？
• RQ5 2次元系における熱伝導率指数 $\alpha$ の漸近的値は何か？

主な発見

• 2次元FPU格子における熱伝導率は、系サイズに比例してべき乗則的発散を示し、指数は $\alpha(2\text{d}) = 0.22 \pm 0.03$ であった。これは、以前の対数的発散の予測と矛盾する。
• 1次元から2次元への挙動の遷移は、横長比 $r^* \sim N_x^{0.65}$ で発生し、系サイズに伴って発散するため、有限系では1次元的スケーリングに完全には到達しないことが示唆された。
• 1次元鎖では熱伝導率指数が $\alpha(1\text{d}) = 0.37 \pm 0.01$ と推定され、以前の研究と整合的だが、初期の推定値よりわずかに低かった。
• 半径 $R$ の2つの狭いナノチューブの熱伝導率は、同じ長さの半径 $2R$ の1つの広いナノチューブよりも高い。これは、横方向のフォノンモードが減少することで、縦方向フォノン輸送が制限されるためである。
• 固定された横長比において、$\kappa$ は $N_x$ の増加に伴い一時的に減少し、その後増加する非単調な振る舞いを示した。これは、漸近的スケーリングに到達するまでの一時的領域を示している。
• 大きな $N_x$ に対しても、観測されたスケーリングは単純なべき乗則から逸脱しており、標準的な最小二乗フィットによる有限サイズデータの解析で得られる指数よりも、漸近的指数が小さいことが示唆された。