[論文レビュー] Heat Flows for Extremal Kähler Metrics

Santiago R. Simanca|ArXiv.org|Oct 22, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、閉じた極小化された複素多様体上のケーラー計量に対して、 extremal ケーラー計量へと計量を発展させるように設計された新しい熱方程式を導入する。この方程式は、スカラー曲率の L² 範囲を最小化する計量を求めるものである。方程式は共ホモロジー類を保存し、解が全域的に存在しない場合には、曲率ノルムが有限時間で発散するが、周期的軌道は存在せず、固定点は extremal 計量に限る。

ABSTRACT

Let $(M,J,Ω)$ be a closed polarized complex manifold of Kähler type. Let $G$ be the maximal compact subgroup of the automorphism group of $(M,J)$. On the space of Kähler metrics that are invariant under $G$ and represent the cohomology class $Ω$, we define a flow equation whose critical points are extremal metrics, those that minimize the square of the $L^2$-norm of the scalar curvature. We prove that the dynamical system in this space of metrics defined by the said flow does not have periodic orbits, and that its only fixed points are extremal metrics. We prove local time existence of the flow, and conclude that if the lifespan of the solution is finite, then the supremum of the norm of its curvature tensor must blow-up as time approaches it. While doing this, we also prove that extremal solitons can only exist in the non-compact case, and that the range of the holomorphy potential of the scalar curvature is an interval independent of the metric chosen to represent $Ω$. We end up with some conjectures concerning the plausible existence and convergence of global solutions under suitable geometric conditions.

研究の動機と目的

• 固定された共ホモロジー類を表すケーラー計量の空間に、 extremal 計量へ収束する新しい幾何的流れを定義すること。
• 流れ方程式に対する一意的な局所解の存在を確立し、その長期的挙動を分析すること。
• 適切な幾何的条件下で、流れがすべての時間にわたり存在し、 extremal 計量へ収束するかどうかを調査すること。
• 流れによるケーラー錐の前向き安定性を検討し、 extremal 計量の存在に与える影響を明らかにすること。
• 流れが特異点を生じるか、あるいは全域的に収束する条件を探索すること。

提案手法

• G が自己同型群の最大コンパクト部分群であるとき、固定された共ホモロジー類 Ω を表す G-不変ケーラー計量の空間に流れ方程式を定義する。
• 方程式 ∂ω/∂t = Π_t ρ_t − ρ_t を用いて流れを構成する。ここで Π_t は計量に依存する実値のホロモルフィー生成関数への射影である。
• Π_t ρ_t − ρ_t がゼロにホモロジカルであるようにすることで、流れが共ホモロジー類を保存することを保証する。
• 実値ホロモルフィー生成関数の空間への L²-直交射影 π_t を用いて、射影作用素 Π_t を定義する。
• 放物型偏微分方程式理論を用いて、古典的解の一意的局所存在を証明する。
• 解の挙動を分析する：周期的軌道が存在せず、解の存続期間が有限の場合、曲率テンソルノルムの上界が時間の終点に近づくにつれて発散することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された G-不変ケーラー計量上の熱方程式には、周期的軌道が存在するか？
• RQ2 流れの唯一の固定点は extremal ケーラー計量であるか？
• RQ3 どのような幾何的条件下で、流れがすべての時間にわたり存在し、 extremal 計量へ収束するか？
• RQ4 流れによってケーラー錐は前向きに安定するか？ その結果、 extremal 計量の存在にどのような意味を持つのか？
• RQ5 流れはケーラー錐を離れ得るか？ その場合、 extremal ケーラー錐の閉包性にどのような含意があるか？

主な発見

• G-不変ケーラー計量（Ω を表す）の空間において、流れには周期的軌道が存在しない。
• 流れの唯一の固定点は extremal ケーラー計量であり、これはスカラー曲率のホロモルフィー勾配を持つ計量である。
• 流れの解は時間の局所的解として存在し、解の存続期間が有限の場合、曲率テンソルノルムの上界は時間の終点に近づくにつれて発散する。
• extremal solitons は非コンパクトの場合にのみ存在可能であり、コンパクト多様体上では存在しない。
• スカラー曲率のホロモルフィー生成関数の値域は、Ω を表す計量の選び方に依存せず、区間である。
• 予想として、流れがある点に収束するが、それがケーラー錐の外にある場合、 extremal ケーラー錐はケーラー錐の中で閉じていないことになり、ある種のケーラー類は extremal 計量で表せないことを示唆する。