[論文レビュー] Heat kernel asymptotics, local index theorem and trace integrals for CR manifolds with $S^1$ action

Jih-Hsin Cheng, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Geometry and complex manifolds被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$S^1$作用をもつCR多様体上のKohn $\bar\boxempty_b$作用素の熱核漸近展開を確立し、距離関数を通じて低次元の層化構造からの新しい寄与を明らかにする。Getzlerのスケーリングを用いた寄与のキャンセルにより、局所的CR指数定理を示し、接続特徴類を用いた局所指数公式を得る。さらに、$S^1$-層化の幾何的不変量を含む明示的なトレース積分展開を導出する。

ABSTRACT

Among those transversally elliptic operators initiated by Atiyah and Singer, Kohn's $\Box_b$ operator on CR manifolds with $S^1$ action is a natural one of geometric significance for complex analysts. Our first main result establishes an asymptotic expansion for the heat kernel of such an operator with values in its Fourier components, which involves an unprecedented contribution in terms of a distance function from lower dimensional strata of the $S^1$-action. Our second main result computes a local index density, in terms of \emph{tangential} characteristic forms, on such manifolds including \emph{Sasakian manifolds} of interest in String Theory, by showing that certain non-trivial contributions from strata in the heat kernel expansion will eventually cancel out by applying Getzler's rescaling technique to off-diagonal estimates. This leads to a local result which can be thought of as a type of local index theorem on these CR manifolds. As applications of our CR index theorem we can prove a CR version of Grauert-Riemenschneider criterion, and produce many CR functions on a weakly pseudoconvex CR manifold with transversal $S^1$ action and many CR sections on some class of CR manifolds, answering (on this class of manifolds) some long-standing questions in several complex variables and CR geometry. We give examples of these CR manifolds, some of which arise from Brieskorn manifolds. Moreover in some cases, without use of equivariant cohomology method nor keeping contributions arising from lower dimensional strata as done in previous works, we can reinterpret Kawasaki's Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a complex orbifold with an orbifold holomorphic line bundle, as an index theorem obtained by a single integral over a smooth CR manifold which is essentially the circle bundle of this line bundle.

研究の動機と目的

• CR多様体に$S^1$作用をもつKohn $\bar\boxempty_b$作用素の熱核の漸近展開を確立し、低次元の層化構造への距離関数を通じた寄与を組み込む。
• Getzlerのスケーリング技法を用いて、非自明な層化構造寄与のキャンセルを示し、局所的CR指数定理を導出する。
• 熱核の明示的トレース積分を計算し、体積および重み係数などの幾何的不変量を用いて$S^1$-層化からの補正を同定する。
• CR指数定理を応用し、弱い擬凸性をもつ$S^1$作用をもつCR多様体に多くのCR関数が存在するためのCR版Grauert-Riemenschneider基準を証明する。
• 特異軌道束のためのKawasakiのHirzebruch-Riemann-Roch公式を、等長同型を用いた滑らかなCR円束上での指数定理として再解釈する。

提案手法

• BRT自明化における修正Kohnラプラシアンの熱核の漸近展開を導出し、低次元の層化構造への特異的寄与を、その層化構造への距離関数を介して組み込む。
• 熱核の非対角的推定にGetzlerのスケーリング技法を適用し、非自明な層化構造寄与をキャンセルすることで、接続特徴形式を用いた局所指数公式を導出する。
• $S^1$軌道上の角度積分を用いて熱核のスーパートレースを計算し、多様体を異なる余次元の層化に分解し、局所的寄与を計算する。
• 一般の$S^1$-層化構造（単連結でない成分を含む）に対応するため、全多様体上で局所的角度積分を貼り合わせる手続きを採用する。
• トレース積分の漸近展開を、重み係数$D_{\bullet,m}$、体積積分$S^{+}_{\bullet,s}$、補正項$Z_{[\tau],s}$を用いて、層化構造の幾何的データで表現する。
• 主に修正された$\text{Spin}^c$ Kohnラプラシアンとその熱核の漸近展開に依拠し、微局所解析およびリーマン幾何学に基づく主要な推定を用いて、主結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^1$作用をもつCR多様体上でのKohn $\bar\boxempty_b$作用素の熱核は、作用の低次元の層化構造付近でどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 熱核展開における層化構造からの非自明な寄与は、幾何的スケーリング技法によりキャンセル可能か？その結果、局所指数公式が得られるか？
• RQ3 熱核のトレース積分の正確な構造は何か？また、$S^1$作用の異なる層化構造からの寄与は、漸近展開にどのように現れるか？
• RQ4 CR指数定理を用いて、弱い擬凸性をもつ$S^1$作用をもつCR多様体に多くのCR関数が存在するためのCR版Grauert-Riemenschneider基準を証明可能か？
• RQ5 特異軌道束のためのKawasakiのHirzebruch-Riemann-Roch公式を、円束構成を用いて滑らかなCR多様体上での指数定理として再解釈可能か？

主な発見

• Kohn $\bar\boxempty_b$作用素の熱核漸近展開には、$S^1$作用の低次元の層化構造への距離関数からの新しい寄与が含まれており、これは標準的な熱核展開には存在しない。
• Getzlerのスケーリングにより、スーパートレースにおいて非自明な層化構造寄与がキャンセルされ、接続チャーン類およびTodd類形式を用いた局所指数定理が得られる。
• 熱核のトレース積分は、$t$の半整数乗の漸近展開を示し、$t^{-n + e/2}$の係数は、余次元$e$の層化構造の体積の和$Z_{[\tau],s}$に比例する。
• 主層化では、主要項は$D_{1,m}(2\tau)^{-1}(2\tau t)^{-n}\text{vol}(X)$であり、低次元の層化からの補正項が$O(t^{-n + e/2})$のオーダーで現れる。
• 重み係数$D_{\bullet,m}$および$D_{\bullet,m,[\tau]}$は、$p_\bullet$が$m$を割り切るとき正であり、トレース積分における層化寄与の正の性質を保証する。
• 本結果により、Kawasakiの特異軌道束のためのHirzebruch-Riemann-Roch公式を、等長同型を用いた滑らかなCR多様体（円束）上での指数定理として再解釈できる。