[論文レビュー] Heat kernel estimates and the relative compactness of perturbations by potentials

Jochen Brüning, Batu Güneysu|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、制御関数を用いた熱核推定を用いて、ポテンシャルで摂動されたシュレーディンガー型作用素の相対的コンパクト性に関する抽象的条件を確立する。もし熱核の対角成分が $ p(t,x,x) \leq F_1(x)F_2(t) $ を満たすならば、そのポテンシャルによる摂動は相対的にコンパクトであることを証明する。この結果はリーマン多様体および重み付きグラフに対して普遍的に適用可能であり、体積や連結半径といった幾何的不変量を用いて鋭いコンパクト性基準が得られる。

ABSTRACT

We consider a self-adjoint non-negative operator $H$ in a Hilbert space $\mathsf{L}^2(X,{ m d}μ)$. We assume that the semigroup $(\mathrm{e}^{-t H})_{t>0}$ is defined by an integral kernel, $p$, which allows an estimate of the form $p(t,x,x)\le F_1(x)F_2(t)$ for all $(x,t)\in X imes\mathbb{R_+}$; we refer to $F_1$ as the \emph{control function}. We show that such an estimate leads to rather satisfying abstract results on relative compactness of perturbations of $H$ by potentials. It came as a surprise to us, however, that such an estimate holds for the Laplace-Beltrami operator on \emph{any} Riemannian manifold. In particular, using a domination principle, one can deduce from the latter fact a very general result on the relative compactness of perturbations by potentials of the Bochner Laplacian associated with a Hermitian bundle $(E, h^E, abla^E)$ over an arbitrary Riemannian manifold $(M,g)$; in fact, only quantities of order zero in $g$ enter in the estimates. We extend this result to weighted Riemannian manifolds, where under lower curvature bounds on the $α$-Bakry-Émery tensor one can construct quite explicit control functions, and to any weighted graph, where the control function is expressed in terms of the vertex weight function.

研究の動機と目的

• 抽象的な測度空間上のシュレーディンガー型作用素におけるポテンシャルによる摂動の相対的コンパクト性に関する一般基準を構築すること。
• 任意のリーマン多様体上のラプラシアン＝ベルトラミ作用素に対して、制御関数 $ F_1(x)F_2(t) $ を用いた熱核推定を確立すること。
• これらの結果をリーマン多様体上のヘルミートベクトル bundle 上の共変シュレーディンガー作用素および重み付きグラフへと拡張すること。
• 支配性と熱核制御を用いて、$ W_1 \in L^2 $ および $ W_2 $ が無限遠で減少するという積分条件から、$ V(H+1)^{-1} $ のコンパクト性が導かれるようにすること。

提案手法

• 放物型 $ L^2 $-平均値不等式を用いて、任意のリーマン多様体上で $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $ という普遍的な熱核推定を導出する。
• リーマン多様体が完備で $ \mathrm{Ric} \geq 0 $ を満たす場合、Li-Yau推定を用いて $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}(B(x,1))^{-1}(t^{-m/2} + 1) $ を証明する。
• 制御関数 $ F_1(x)F_2(t) $ を導入することで、相対的コンパクト性を $ F_1 $ と $ F_2 $ に対する $ V $ の積分性に還元し、測度空間上の抽象的解析を可能にする。
• スカラー関数から共変シュレーディンガー作用素への結果の拡張のために、支配性原理を適用し、ユニタリ接続を備えたヘルミートバンドル上での結果を拡張する。
• 曲率仮定なしに成り立つ重み付きグラフ上での離散的熱核評価 $ p_{b,\varrho}(t,x,y) \leq 1/\varrho(y) $ を確立する。
• 補題 2.17 を用いて、すべての $ c>0 $ に対して $ \sum_x |W_1(x)|^2 \varrho(x) + \sum_{|W_2|>c} (1+\varrho(x)) < \infty $ が成り立つとき、$ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} \in \mathscr{L}^\infty $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱核対角成分 $ p(t,x,x) $ がどのような条件下に、自己共役非負作用素 $ H $ に対してポテンシャル $ V $ が相対的にコンパクトとなるか？
• RQ2 熱核推定において制御関数 $ F_1(x)F_2(t) $ を用いることで、ポテンシャル摂動の相対的コンパクト性を特徴づけられるか？
• RQ3 曲率や完備性に依存せず、任意のリーマン多様体上で $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $ が成り立つか？
• RQ4 リーマン多様体上のヘルミートバンドル上の共変シュレーディンガー作用素に対し、ポテンシャルによる摂動の相対的コンパクト性を拡張できるか？
• RQ5 重み付きグラフ上での $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} $ が有界であるための十分条件は何か？

主な発見

• 任意のリーマン多様体上で、$ C $ が次元 $ m $ のみに依存するように、熱核対角成分が $ p(t,x,x) \leq C \cdot \min(r_{\text{Eucl}}(x,2),1)^{-m}(t^{-m/2} + 1) $ を満たす。
• $ \mathrm{Ric} \geq 0 $ を満たす完備多様体では、$ C $ が次元 $ m $ のみに依存するように、推定 $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}(B(x,1))^{-1}(t^{-m/2} + 1) $ が成り立つ。
• 非負の $ \alpha $-Bakry-Émery テンソルを備えた重み付きリーマン多様体では、推定が $ p(t,x,x) \leq C \cdot \mathrm{vol}_\alpha(B(x,1))^{-1}(t^{-(m/2+\alpha/2)} + 1) $ に拡張される。
• 任意の重み付きグラフ上で、すべての $ t \geq 0 $、$ x,y \in X $ に対して、熱核が $ p_{b,\varrho}(t,x,y) \leq 1/\varrho(y) $ を満たす。
• $ W = W_1 + W_2 $ で $ W_1 \in L^2 $ かつすべての $ c>0 $ に対して $ \sum_{|W_2|>c} (1+\varrho(x)) < \infty $ が成り立つとき、作用素 $ \hat{W}(H^\Phi_{b,\varrho,V}+a)^{-1} $ は $ \Gamma_{\mathsf{L}^2}(X,E;{\rm d}\mu_\varrho) $ 上で有界である。
• $ V(H+1)^{-1} $ の相対的コンパクト性は、制御関数推定 $ p(t,x,x) \leq F_1(x)F_2(t) $ から導かれる。これは、曲率や体積成長の仮定なしに、任意の多様体へと既知の結果を一般化する。