[論文レビュー] Heat kernel estimates of fractional Schrödinger operators with negative hardy potential

Tomasz Jakubowski, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\alpha \in (0, d \wedge 2)$ および $\lambda > 0$ である $\mathbb{R}^d$ 上の分数階シュレーディンガー作用素 $\Delta^{\alpha/2} - \lambda |x|^{-\alpha}$ に対して、チャップマン＝コルモゴロフ方程式と自己改善型議論を用いた純粋な解析的手法により、鋭い両側の熱核推定を確立する。主な結果は、負のハーディー型ポテンシャルに起因する特異性を捉えた正確な漸近的推定であり、熱核が $\left(1 \wedge \frac{|x|}{t^{1/\alpha}}\right)^\delta \left(1 \wedge \frac{|y|}{t^{1/\alpha}}\right)^\delta \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right)$ のように減少することを示している。

ABSTRACT

We obtain two-sided estimates for the heat kernel (or the fundamental function) associated with the following fractional Schrödinger operator with negative Hardy potential $$Δ^{α/2} -λ|x|^{-α}$$ on $\RR^d$, where $α\in(0,d\wedge 2)$ and $λ>0$. The proof is purely analytical but elementary. In particular, for upper bounds of heat kernel we use the Chapman-Kolmogorov equation and adopt self-improving argument.

研究の動機と目的

• 分数階シュレーディンガー作用素 $\Delta^{\alpha/2} - \lambda |x|^{-\alpha}$ に対して、$\alpha \in (0, d \wedge 2)$ および $\lambda > 0$ の下で、熱核の精密な両側推定を導出すること。
• ポテンシャル $-\lambda |x|^{-\alpha}$ がカト型に属さない場合に生じる熱核の挙動の困難さに対処すること。このため、標準的な比較技法が適用できない。
• 確率的または半群論的道具に依存せずに、厳密で初等的な解析的証明により熱核推定を提示すること。
• 空間的・時間的変数における熱核の連続性と減衰構造を、特に原点付近および無限遠において特徴づけること。

提案手法

• 著者たちは、チャップマン＝コルモゴロフ方程式を用いて、摂動級数を介した熱核の再帰的推定を導出する。
• 自由な分数階ブラウン運動の核 $p(t,x,y)$ を出発点として、自己改善型議論を用いて熱核の上界を繰り返し改善する。
• 摂動級数はポテンシャル強度 $\lambda$ のべき級数として展開され、係数はデュハメルの公式およびファインマン＝カックの公式を用いて再帰的に定義される。
• 解析では、熱核がポテンシャルパラメータ $\lambda$ に関して完全単調であることを、ベルンシュタインの定理とモーメント表現を用いて確立する。
• 主要な推定は、摂動された核と自由核との比較に基づき、摂動展開における指数因子を制御するための比 $p_1^\lambda / p^\lambda$ の単調性を利用する。
• 最終的な両側推定は、自己改善型議論による上界と、摂動級数の解析および核成分の正値性に基づく下界の組み合わせによって得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カト型に属さない場合、分数階シュレーディンガー作用素 $\Delta^{\alpha/2} - \lambda |x|^{-\alpha}$ の熱核はどのように振る舞うか？
• RQ2 原点付近および空間的無限遠において、熱核の正確な漸近的減衰は何か？ これは自由な分数階ラプラシアンとはどのように異なるか？
• RQ3 確率的仮定を一切用いずに、純粋な解析的手法により熱核の鋭い両側推定を導出可能か？
• RQ4 特異性を持つハーディー型ポテンシャル $|x|^{-\alpha}$ は、熱核の長時間的および短時間的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 減衰率を特徴づけるパラメータ $\delta \in (0, \alpha)$ の役割は何か？

主な発見

• 作用素 $\Delta^{\alpha/2} - \lambda |x|^{-\alpha}$ に付随する熱核 $\tilde{p}(t,x,y)$ は、$(0,\infty) \times \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d$ 上で jointly continuous である。
• すべての $\delta \in (0, \alpha)$ に対して、熱核は両側推定 $\tilde{p}(t,x,y) \approx \left(1 \wedge \frac{|x|}{t^{1/\alpha}}\right)^\delta \left(1 \wedge \frac{|y|}{t^{1/\alpha}}\right)^\delta \left(t^{-d/\alpha} \wedge \frac{t}{|x-y|^{d+\alpha}}\right)$ を満たす。
• この推定は鋭く、負のハーディー型ポテンシャルに起因する特異的減衰を捉えており、$\delta$ に依存する因子が原点における特異性の強度を反映している。
• 上界はチャップマン＝コルモゴロフ方程式と自己改善型議論を用いて得られ、確率的道具に依存しない。
• 下界は摂動級数の解析と、ポテンシャルパラメータ $\lambda$ における核の完全単調性を用いて得られ、これにより主要な比の正値性と単調性が保証される。
• 以前のカト型に属するポテンシャルを持つ分数階シュレーディンガー作用素に関する研究を拡張しており、$-\lambda |x|^{-\alpha}$ はこのクラスに属さず、根本的に異なる挙動を示す。