[論文レビュー] Heat,temperature and relativity

Maciej Przanowski|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ジュッター分布を用いて相対論的ギブス分布を導出し、温度と熱が $ T = \gamma(\vec{V})T_0 $ および $ \delta Q = \gamma(\vec{V})\delta Q_0 $ として変換されることを示し、オットの理論と整合的であることで、相対論的熱力学における長年の論争を解決する。四元ベクトル $ T^j = \frac{1}{c}T_0 u^j $ および熱 $ \delta Q^j = T^j dS $ がローレンツ変換に対して不変であることが確立され、カルノーサイクルの思考実験によって相対論的熱力学が裏付けられる。

ABSTRACT

Relativistic thermodynamics as result of some recent computer simulations is derived.

研究の動機と目的

• 熱、仕事、温度、確率に関する相対論的熱力学における継続的な論争を解決すること。
• ジュッター分布を用いて、相対論的統計力学のローレンツ不変形式を確立すること。
• ギブス集合と四元ベクトル形式を用いて、温度と熱の整合的な変換則を導出すること。
• 相対論的カルノーサイクルの思考実験によって変換 $ T = \gamma(\vec{V})T_0 $ を検証すること。

提案手法

• 移動系と静止系の両方において、ジュッター分布を用いて相対論的ギブス分布 $ dw = \frac{V^N}{(2\pi\hbar)^{3N}N!\mathcal{Z}} \exp\left(-\beta c u_j P^j\right) d^{3N}p $ を導出する。
• 分配関数 $ \mathcal{Z} $ とエントロピー $ S = k(\ln \mathcal{Z} + \beta c u_j \langle P^j \rangle) $ を定義し、これらがローレンツ不変であることを示す。
• 四元ベクトル $ d\langle P^j \rangle $ を構成し、$ \frac{1}{kc\beta} u^j dS + \langle dP^j \rangle + \delta Q_\perp^j $ に分解する。ここで $ u_j \delta Q_\perp^j = 0 $ である。
• 温度の四元ベクトル $ T^j = \frac{1}{c}T_0 u^j $ と熱の四元ベクトル $ \delta Q^j = T^j dS $ を定義し、ローレンツ不変性を保証する。
• 仕事の四元ベクトル $ \delta L^j $ を非四元ベクトルとして導出し、$ \delta L = -PdV + \gamma^2 \frac{V\vec{V}^2}{c^2} dP + (\langle E_0 \rangle + P_0 V_0) d\gamma $ となることを示す。
• 相対論的カルノーサイクルを用いて変換則を検証し、$ \frac{Q}{Q_0} = \frac{T}{T_0} = \gamma(\vec{V}) $ を得て、$ T = \gamma T_0 $ が正当化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動系におけるマクスウェル＝ボルツマン分布の相対論的一般化をどのように一貫して定式化できるか？
• RQ2 相対論的統計力学における温度と熱の正しいローレンツ変換則は何か？
• RQ3 なぜ異なる著者（例えばプランクとオット）が温度の変換則について矛盾する主張をしているのか？
• RQ4 ローレンツ不変なギブス集合から相対論的熱力学の第一法則を導出できるか？
• RQ5 運動する黒体の温度は、相対論的熱力学において明確に定義可能か？

主な発見

• 相対論的ギブス分布は $ dw = \frac{1}{Z\gamma(\vec{V})} \exp\left(-\beta c u_j p^j\right) dp_x dp_y dp_z $ で与えられ、ジュッター分布が運動系に一般化される。
• 分配関数 $ \mathcal{Z} $、エントロピー $ S $、圧力 $ P $ はすべてローレンツ不変であり、フレーム間での熱力学的一致性が保証される。
• 四元ベクトル $ (\langle \vec{P} \rangle, \frac{\langle E \rangle + PV}{c}) $ はローレンツ四元ベクトルであるが、$ (\langle \vec{P} \rangle, \frac{\langle E \rangle}{c}) $ はそうではない。
• 温度は $ T = \gamma(\vec{V})T_0 $ として変換され、オットの理論と整合的であり、相対論的カルノーサイクルによって裏付けられる。
• 熱は $ \delta Q = \gamma(\vec{V})\delta Q_0 $ として変換され、仕事は $ \delta L = -PdV + \gamma^2 \frac{V\vec{V}^2}{c^2} dP + (\langle E_0 \rangle + P_0 V_0) d\gamma $ で与えられる。
• 相対論的カルノーサイクルの効率は $ \eta = 1 - \gamma(\vec{V}) < 0 $ であるが、これは $ T = \gamma T_0 $ の場合にのみ整合的であり、$ T = \gamma^{-1} T_0 $ の場合とは異なる。