[論文レビュー] Heavy flavor operator matrix elements at $O(a_s^3)$

Isabella Bierenbaum, J. Blümlein+1 more|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、強い結合定数の3次微小項 ($O(\alpha_s^3)$) における固定モーメントの重いクォークのオペレータ行列要素 (OMEs) の最初の独立計算を提示し、$N=2$ から $12$ までの $ ext{NNLO}$ の異常次元のフェルミオン的寄与を確認した。結果は次元正則化を用いた MATAD パッケージを用いて得られ、先行研究の妥当性を裏付け、$N=2$ における $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$、$A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$、$A_{gq,Q}$ の明示的な解析的表現が得られた。非平面的定数として $ {zeta}_3$、$ {zeta}_2^2$、$ {Li}_4(1/2)$ を含む。

ABSTRACT

The heavy quark effects in deep--inelastic scattering in the asymptotic regime $Q^2 \gg m^2$ can be described by heavy flavor operator matrix elements. Complete analytic expressions for these objects are currently known to ${\sf NLO}$. We present first results for fixed moments at ${\sf NNLO}$. This involves a recalculation of fixed moments of the corresponding ${\sf NNLO}$ anomalous dimensions, which we thereby confirm.

研究の動機と目的

• 深い非弾性散乱の漸近的領域 $Q^2 \gg m^2$ において、$O(\alpha_s^3)$ の固定モーメントの重いクォーク OMEs を計算すること。
• 独立計算により、$N=2$ から $12$ までの $ {NNLO}$ 異常次元のフェルミオン的寄与が確認されること。
• 次元正則化と $ {MS}$ スキームを用いて、$N=2$ から $12$ までの $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$、$A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$、$A_{gq,Q}$ の解析的表現を提供すること。
• 和則と極構造のチェックを通じて結果の整合性を検証すること。特に $N=2$ の和則 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$ を満たすこと。

提案手法

• 計算には、次元正則化を用いた $D=4+\varepsilon$ 次元における三ループ自己エネルギーおよび頂点図の計算に MATAD パッケージを用いた。
• フェルミオン図は 't Hooft-Veltman スキームで評価され、質量のオンシェル型再正則化と $ {MS}$ スキームでの結合定数再正則化を適用した。
• OMEs は、すべての特異性が再正則化および質量因子化によって除去された、$N=2$ から $12$ までの偶数モーメントに注目して、ミェリン空間で計算された。
• 計算結果は、$N=2$ の和則と、$D\to 4$ 計算で予想されるように $ {zeta}_2$ 項が再正則化後に消失することによる整合性チェックが行われた。
• 非平面的定数として $ {zeta}_3$、$ {zeta}_2^2$、$ {Li}_4(1/2)$、および $B_4 = -4\r{zeta}_2\ln^2 2 + \frac{2}{3}\ln^4 2 - \frac{13}{2}\r{zeta}_4 + 16\r{Li}_4(1/2)$ を含む計算が行われ、これらは真の重クォーク効果として特徴づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N=2$ から $12$ までの $O(\alpha_s^3)$ 重クォーク OMEs $A_{Q(q)q}^{\text{PS}}$、$A_{qq,Q}^{\text{NS},+}$、$A_{gq,Q}$ の解析的固定モーメント値は何か？
• RQ2 独立計算により得られた $ {NNLO}$ フェルミオン的寄与は、参考文献 [9] の結果と一致するか？
• RQ3 $O(\alpha_s^3)$ OMEs は $N=2$ において運動量和則 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$ を満たすか？
• RQ4 非平面的定数 $\r{Li}_4(1/2)$ および $B_4$ は $O(\alpha_s^3)$ OMEs においてどのような役割を果たすか？また、これらは軽クォークのウィルソン係数に存在しないか？
• RQ5 最終的な再正則化済み OMEs において $ {zeta}_2$ 依存項が消失するのは、$D\to 4$ 計算の期待に一致するか？

主な発見

• PS 型 OME $A_{Q(q)q}^{(3),\text{PS}}$ の定数項は、$N=2$ で明示的に計算され、$\left(\frac{2048}{81}\r{zeta}_3 - \frac{86480}{2187}\right)C_F T_F^2 n_f + \left(-\frac{3584}{81}\r{zeta}_3 + \frac{53144}{2187}\right)C_F T_F^2 + \left(\frac{64}{9}B_4 - \frac{128}{5}\r{zeta}_2^2 + \frac{1280}{27}\r{zeta}_3 + \frac{830}{2187}\right)C_F C_A T_F + \left(-\frac{128}{9}B_4 + \frac{128}{5}\r{zeta}_2^2 - \frac{9536}{81}\r{zeta}_3 + \frac{95638}{729}\right)C_F^2 T_F$ となる。ここで $B_4$ は式 (8) で定義される。
• $N=10$ および $N=12$ における $ {NNLO}$ 異常次元の固定モーメントは、参考文献 [9] の結果と正確に一致し、フェルミオン的寄与の独立的計算による確認が得られた。
• $N=2$ の和則 $A_{qq,Q}^{\text{NS},+} + A_{Q(q)q}^{\text{PS}} + A_{gq,Q} = 0$ が計算された OMEs によって満たされており、強い整合性の確認が得られた。
• すべての $ {zeta}_2$ 依存項が最終的な再正則化済み OMEs で消失しており、$D\to 4$ 計算の一般的な期待と一致している。
• $B_4$ はすべての計算済み OMEs に現れ、軽クォークのウィルソン係数には存在しないため、真の重クォーク効果として確認された。
• $A_{Q(q)q}^{(3),\text{PS}}$、$A_{qq,Q}^{(3),\text{NS},+}$、$A_{gq,Q}^{(3)}$ の結果は、$ {ln}(m^2/\mu^2)$ の単一および二重極項を含む一般の再正則化構造と整合している。