[論文レビュー] Heavy subsets and non-contractible trajectories

Morimichi Kawasaki|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可縮軌道ではなく可縮軌道からのオーマン＝シュワーツスペクトル不変量を用いて、Biran-Polterovich-Salamonの相対的シンプレクティック容量を推定する新しい手法を提示する。閉シンプレクティック多様体内の $n$-安定に非可動な部分集合 $X$ に対して、容量 $C(M,X,R;e)$ が $\sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$ に等しいことを証明し、安定非可動性と容量の有限性に関する予想を支持する。

ABSTRACT

Entov and Polterovich defined heaviness for closed subsets of a symplectic manifold by using the Hamiltonian Floer theory on contractible trajectories. Heavy subsets are known to be non-displaceable. In the present paper, we define a relative symplectic capacity $C(M,X,R;e)$ for a symplectic manifold $(M,ω)$ and its subset $X$ which measures the existence of non-contractible trajectories of Hamiltonian isotopies on the product with annulus. We prove that $C(M,X,R;e)$ is finite if $(M,ω)$ is monotone and $X$ is a heavy subset. We also prove that $C(M,X,R;e)$ is infinite if $X$ is a displaceable compact subset.

研究の動機と目的

• 可縮ハミルトニアンフローホモロジーからのスペクトル不変量を用いて、従来非可縮軌道に依存していたBiran-Polterovich-Salamonの相対的シンプレクティック容量を再推定すること。
• 非可動部分集合に対してBiran-Polterovich-Salamonの容量が有限であるかどうかを、特に安定非可動性の文脈で調査すること。
• 予想1.3を支持すること、すなわち $n$-安定に非可動なコンパクト部分集合 $X$ に対して $C(M,X,R;e) = \sum R_i |e_i|$ が成り立つと仮定すること。
• 時間不変のハミルトニアンフローの不変測度に基づく新しい容量 $C^P$ を定義・分析し、$C(M,X,R;e)$ の下界を与えること。

提案手法

• 可縮ハミルトニアンフローホモロジーから導かれるオーマン＝シュワーツスペクトル不変量を用いて、Biran-Polterovich-Salamon容量を推定する。
• シンプレクティック形式 $\operatorname{pr}_1^*\omega + \operatorname{pr}_2^*\omega_0$ を持つ $M \times I_R^n \times T^n$ 上に、$M$ のコンパクト部分集合 $X$ を用いて相対的容量 $C(M,X,R;e)$ を定義する。
• $n$-安定に非可動な部分集合を、$M \times T^*T^n$ 内で $X \times T^n$ が非可動であるようなものとして定義し、安定可動性の概念を一般化する。
• $M \times T_{2R}^n \times T^n$ 上に、与えられたコホモロジー類と一致するフラックスを持つシンプレクティック同倫 $\{\psi^t\}$ を構成し、定理9.4の不変測度への適用を可能にする。
• 閉1次形式とハミルトニアンフローの不変測度を用いて容量 $C^P$ を定義し、$C^P \leq C$ を満たし、同じ仮定のもとで $C^P = \sum R_i |e_i|$ を証明する。
• 微分が制御された切り捨て関数 $\rho$ を $I_R^n$ 上に導入し、$H(x,p,q) = \rho(p)$ としてハミルトニアンを構成することで、$\int \lambda(X_H) \, d\mu \leq \lambda((0_M,e))$ を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可縮軌道からのスペクトル不変量を用いて、従来非可縮軌道に依存していたBiran-Polterovich-Salamon容量を推定できるか？
• RQ2 $n$-安定に非可動な部分集合 $X$ に対して、容量 $C(M,X,R;e)$ は有限か？
• RQ3 予想通り、$n$-安定に非可動な $X$ に対して $C(M,X,R;e)$ は $\sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$ に等しいか？
• RQ4 不変測度に基づく新しい容量 $C^P$ は $C(M,X,R;e)$ の下界を与えることができ、かつ $\sum R_i |e_i|$ に等しくなるか？
• RQ5 安定非可動性は、容量の有限性と正確性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、閉シンプレクティック多様体 $M$ の任意の $n$-安定に非可動なコンパクト部分集合 $X$ に対して、容量 $C(M,X,R;e)$ が $C(M,X,R;e) = \sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$ を満たすことを証明した。
• ハミルトニアンフローの不変測度に基づく容量 $C^P(M,X,R;e)$ は、同じ仮定のもとで $C^P(M,X,R;e) = \sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$ を満たす。
• コンパクト台を持つ $\rho$ と $|\partial\rho/\partial p_i| < |e_i|$ を満たすハミルトニアン $H(x,p,q) = \rho(p)$ の構成により、$\int \lambda(X_H) \, d\mu \leq \lambda((0_M,e))$ が保証され、これが下界の鍵となる。
• フラックスが $K\mathbf{l}^*$ と一致するシンプレクティック同倫 $\{\psi^t\}$ を用いた証明では、$(Ka_1,\dots,Ka_n) \in S_R$ となるように $K$ を選ぶことで、定理9.4の適用が可能になる。
• 結果として、予想1.3が支持され、$C(M,X,R;e)$ が有限であり、$n$-安定に非可動な集合に対して $\sum R_i |e_i|$ に正確に等しいことが示された。
• 非可動であっても $C(M,X,R;e) = +\infty$ となる例が提示され、安定非可動性が有限性のための必要条件であることが示された。