[論文レビュー] Heavy tail and light tail of Cox-Ingersoll-Ross processes with regime-switching

Tongtong Hou, Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、レジームスイッチングを伴うCox-Ingersoll-Ross（CIR）過程における定常分布の尾挙動を分析し、平均回帰係数 $ a_{\min} $ の符号に応じて、標準的なCIRモデルとは異なり、重尾分布を示す可能性があることを示している。主な貢献は、係数 $ a_{\min} $ と定常分布の重尾・軽尾の有無を結びつける鋭い基準を提示したことである。これは、金利モデルにおけるレジームスイッチングの理論的根拠を提供する。

ABSTRACT

This work is denoted to studying the tail behavior of Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes with regime-switching. One essential difference shown in this work between CIR process with regime-switching and without regime-switching is that the stationary distribution for CIR process with regime-switching could be heavy-tailed. Our results provide a theoretical evidence of the existence of regime-switching for interest rates model based on its heavy-tailed empirical evidence. In this work, we first provide sharp criteria to justify the existence of stationary distribution for the CIR process with regime-switching, which is applied to study the long term returns of interest rates. Then under the existence of the stationary distribution, we provide a criterion to justify whether its stationary distribution is heavy-tailed or not.

研究の動機と目的

• レジームスイッチングを伴うCIR過程における定常分布の存在および一意性を鋭く特定すること。
• モデルのパラメータに基づいて、その定常分布が重尾か軽尾かを特定すること。
• 実証的な重尾的証拠を用いて、金利モデルにおけるレジームスイッチングの理論的妥当性を提供すること。
• レジームスイッチングCIR過程の長期的挙動およびモーメント性質の理解を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、連続時間マルコフ連鎖 $ \Lambda_t $ とブラウン運動 $ B_t $ によって駆動される確率微分方程式（SDE）に従うレジームスイッチングCIR過程を用いる。
• 先行研究のエルゴディシティ基準を適用して、正再帰性および一意な定常分布 $ \pi $ の存在を確立する。
• 尾挙動を決定づける重要なパラメータ $ \kappa $ は、不変測度 $ \mu_i $ および係数 $ a_i, b_i, \sigma_i $ を用いて定義される。
• 伊藤の公式を $ r_t^p $ に適用することでモーメント推定値を導出し、$ \mathbb{E}[r_t^p] $ の上限を得る。さらに、指数マーティンゲール推定を用いてモーメントを制御する。
• 本手法は、オーナイズ・ウーレン過程のレジームスイッチング版に関する先行研究にインspiredされた、確率解析および再生型の議論に依存する。
• 重要な技術的ステップとして、$ \mathbb{E}[r_t^{-1}] $ のバウンディングを、比較的SDEと不変測度を用いて行い、$ p \in (0, \kappa) $ の範囲で可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レジームスイッチングを伴うCIR過程が一意な定常分布を有する条件は何か？
• RQ2 定常分布が重尾か軽尾かを決定づける要因は何か？
• RQ3 $ a_{\min} = \min_i a_i $ の符号が定常分布の尾挙動に与える影響は何か？
• RQ4 臨界指数 $ \kappa $ を用いて、定常分布のモーメント構造を特徴づけられるか？
• RQ5 マルコフスイッチング過程の不変測度と金利分布の尾特性との関係は何か？

主な発見

• $ a_{\min} > 0 $ の場合、定常分布 $ \pi $ は軽尾であり、ある $ \delta > 0 $ に対して $ \int_{\mathbb{R}_+ \times \mathcal{S}} e^{\delta y} \, d\pi < \infty $ を満たす。
• $ a_{\min} < 0 $ の場合、定常分布は重尾であり、$ \int_{\mathbb{R}_+ \times \mathcal{S}} y^p \, d\pi < \infty $ が成り立つのは $ p \in (0, \kappa) $ のときであり、$ \kappa > 1 $ である。
• $ p \geq \kappa $ の場合、定常分布の $ p $ 階モーメントは無限大である。すなわち、$ \int y^\kappa \, d\pi = \infty $ である。
• 臨界指数 $ \kappa $ は、不変測度 $ \mu_i $ および係数 $ a_i, b_i, \sigma_i $ を用いて定義され、モーメントの有限性の閾値を決定づける。
• 重尾の存在は、少なくとも1つのレジームで負の平均回帰が生じることに起因するが、これは標準的なCIRモデルでは不可能である。
• 本研究の結果は、金利モデルにおけるレジームスイッチングの理論的根拠を提供し、収益率データで観察される実証的重尾的挙動を説明する。