[論文レビュー] Heavy-traffic analysis of the maximum of an asymptotically stable random walk

Seva Shneer, Vitali Wachtel|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2009

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ドリフトパラメータ a → 0 に近づく際の、漸近的に安定なランダムウォークの最大値の重い設定極限を分析している。これは、重い交通状態下のキューイングシステムに対応する。キングマンの手法とプロホロフの手法の2つの古典的手法を用いて、分散が無限大の設定に一般化されたコルモゴロフの不等式を導出し、最大値の極限分布が安定分布であることを確立する、素朴な証明を与える。

ABSTRACT

Abstract. For families of random walks {S (a) k} with ES(a) k = −ka < 0 we consider their maxima M (a) = supk≥0 S (a) k. We investigate the asymptotic behaviour of M (a) as a → 0 for asymptotically stable random walks. This problem appeared first in the 1960’s in the analysis of a single-server queue when the traffic load tends to 1 and since then is referred to as the heavy-traffic approximation problem. Kingman and Prokhorov suggested two different approaches which were later followed by many authors. We give two elementary proofs of our main result, using each of these approaches. It turns out that the main technical difficulties in both proofs are rather similar and may be resolved via a generalisation of the Kolmogorov inequality to the case of an infinite variance. Such a generalisation is also obtained in this note. Assume that {Xi} ∞ i=1 is a sequence of i.i.d. random variables with a zero expectation: EX1 = 0. Define a random walk S0 = 0, Sk = k∑ Xi for k ≥ 1. i=1 Along with the random walk {Sk}, for each a> 0 define a random walk {S (a)} via Now we can define

研究の動機と目的

• ドリフトパラメータ a → 0 の際、漸近的に安定なランダムウォーク族の最大値の漸近的挙動を調査すること。
• キングマンの手法とプロホロフの手法に基づく素朴な証明を用いて、キューイング理論における重交通近似問題を解明すること。
• 独立同分布の確率変数（平均が0）において分散が無限大である場合の、古典的コルモゴロフ不等式の一般化を試みること。
• 重交通状態下でのランダムウォークの最大値の極限分布を確立し、安定分布への収束を示すこと。

提案手法

• 負のドリフト −ka と平均0の増分を持つランダムウォーク族 {S(a)k} を定義し、その上界 M(a) = supk≥0 S(a)k を考察する。
• キングマンの手法を適用し、指数マーティンゲール技法とラプラス変換法を用いて、M(a) の尾の挙動を分析する。
• プロホロフの手法を適用し、弱収束の議論と有限次元分布の収束を用いて、安定過程への収束を検討する。
• 独立同分布の確率変数（平均が0、2次のモーメントが無限大）の部分和に対して、モーメントの上限を導出することで、コルモゴロフ不等式を無限分散設定に一般化する。
• 安定分布の正則変動性の性質を用いて、a → 0 の際の M(a) の極限挙動を特徴付ける。
• 適切な正規化のもとで、M(a) の分布収束が指数 α ∈ (0,2) の安定分布に一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトパラメータ a → 0 に近づく際、漸近的に安定なランダムウォークの最大値はどのように振る舞うか？
• RQ2 キングマンの手法とプロホロフの手法に基づく素朴な証明を用いて、キューイングシステムにおける古典的重交通近似を厳密に確立できるか？
• RQ3 増分の分散が無限大である場合、コルモゴロフ不等式の適切な一般化は何か？
• RQ4 重交通状態下におけるランダムウォークの最大値の極限分布は何か？
• RQ5 両手法における技術的困難はどのように比較できるか？また、それらは一様な不等式枠組みによって解決可能か？

主な発見

• 適切な正規化のもとで、ランダムウォーク S(a)k の最大値 M(a) は、a → 0 の際に指数 α ∈ (0,2) の安定分布に分布収束する。
• 分散が無限大の設定へのコルモゴロフ不等式の一般化により、平均が0で2次のモーメントが無限大である独立同分布の確率変数の部分和に対して、一様なモーメント上限が得られる。
• キングマンの手法とプロホロフの手法における技術的困難は、構造的に類似しており、同じ一般化不等式によって解決可能であることが示された。
• M(a) の極限分布は、増分の長尾的性質を反映する安定分布（安定性指数 α）で特徴づけられる。
• M(a) の収束速度と尾の挙動は、無限分散状態下における安定分布のスケーリング性質と整合的である。
• 結果は、重尾的サービス時間を持つ単一サーバキューにおける重交通近似を確認し、古典的結果を安定分布の場合にまで拡張した。