[論文レビュー] Hechler and Laver Trees

Arnold W. Miller|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特定の無限分岐性を持つバーレ空間 ω^ω の部分集合としてのヘッチャラー木とラーヴァー木を導入し、任意の解析的集合が、あるヘッチャラー木のすべての分岐を避けるか、あるいはあるラーヴァー木のすべての分岐を含むかのどちらかであることを証明する。この結果は、解析的集合のスィンガーの性質を示す銀の定理を含み、マーティンの公理のもとで Σ²₁ 集合へ拡張可能であり、これらの木の性質に関するゲーム的特徴づけにも応用される。

ABSTRACT

A Laver tree is a tree in which each node splits infinitely often. A Hechler tree is a tree in which each node splits cofinitely often. We show that every analytic set is either disjoint from the branches of a Heckler tree or contains the branches of a Laver tree. As a corollary we deduce Silver Theorem that all analytic sets are Ramsey. We show that in Godel's constructible universe that our result is false for co-analytic sets (equivalently it fails for analytic sets if we switch Hechler and Laver). We show that under Martin's axiom that our result holds for Sigma^1_2 sets. Finally we define two games related to this property. Latex2e 8 pages Latest version at http://www.math.wisc.edu/~miller/res/index.html

研究の動機と目的

• バーレ空間 ω^ω の部分構造として、異なる無限分岐条件を満たすヘッチャラー木とラーヴァー木を定義し、それらを分析すること。
• Σ¹₁（解析的）集合に対して、二分法を確立すること：あるヘッチャラー木のすべての分岐を避けるか、あるいはあるラーヴァー木のすべての分岐を含むかのどちらかである。
• マーティンの公理のもとで、この二分法を Σ²₁ 集合へ拡張し、コアナリティック集合に対しては、ゲーデルの構成可能宇宙においてその二分法が成り立たないことを示すこと。
• 与えられた集合内にラーヴァー木またはヘッチャラー木が存在するかどうかに対応する、2つの新しいゲームを定義し、それらを分析すること。

提案手法

• 各ノードが非有界に多くの直ちに続く拡張を持つ木をヘッチャラー木と定義する（ω^<ω の部分木として）。
• 各ノードが無限個の直ちに続く拡張を持つ木をラーヴァー木と定義する（ω^<ω の部分木として）。
• ある集合がヘッチャラー木を避けるという仮定のもとで、増加する証拠長を持つ木の列から、ラーヴァー木をランクに基づく構成で構築する。
• マーティンの公理を用いて、可算個のヘッチャラー木を定義する関数を支配し、ω₁ 個のボレル集合の和集合である Σ²₁ 集合が、ヘッチャラー木と交わらないことを証明する。
• 2つのゲームを構成する：ゲーム1では、プレイヤーが交互に増加する整数を選ぶ。ゲーム2では、無限集合とそれらの要素を選ぶ。
• プレイヤーIIがゲーム1で必勝戦略を持つことと、集合がラーヴァー木の分岐を含むことは同値であり、プレイヤーIがゲーム1で必勝戦略を持つことと、集合がヘッチャラー木の分岐と交わらないことは同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の解析的集合は、あるヘッチャラー木のすべての分岐を避けるか、あるいはあるラーヴァー木のすべての分岐を含むかのどちらかであるか？
• RQ2 マーティンの公理のもとで、ヘッチャラー木とラーヴァー木の二分法は Σ²₁ 集合へ拡張可能か？
• RQ3 ある集合にラーヴァー木またはヘッチャラー木が存在するのと、定義された2つのゲームにおける必勝戦略の存在との間にどのような関係があるか？
• RQ4 解析的集合に対する二分法の結果は、ゲーデルの構成可能宇宙でも成り立つか？
• RQ5 フィルター F によって、共有限および無限分岐条件が変化する場合、木の性質はどのように変化するか？

主な発見

• 任意の解析的集合 A ⊆ ω^ω は、あるヘッチャラー木の分岐と空集合をとるか、あるいはあるラーヴァー木の分岐を含む。
• マーティンの公理のもとで、同様の二分法が Σ²₁ 集合に対しても成り立ち、一般に ω₁ 個のボレル集合の和集合である任意の集合に対しても成り立つ。
• ゲーデルの構成可能宇宙では、コアナリティック集合に対してこの二分法は成り立たない。つまり、ヘッチャラー木とラーヴァー木を入れ替えた場合、結果は成り立たない。
• ゲーム1において、プレイヤーIIが必勝戦略を持つことと、集合がラーヴァー木の分岐を含むことは同値である。
• ゲーム1において、プレイヤーIが必勝戦略を持つことと、集合がヘッチャラー木の分岐と交わらないことは同値である。
• ゲーム2において、プレイヤーIIが必勝戦略を持つことと、集合がヘッチャラー木の分岐を含むことは同値であり、プレイヤーIが必勝戦略を持つことと、集合がラーヴァー木の分岐と交わらないことは同値である。