[論文レビュー] Hecke algebras and involutions in Weyl groups

George Lusztg, David A. Vogan|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、再帰的群におけるヘッケ代数、ワイル群の対合、および単一部表現の間の関係を確立する。フロベニウス＝シュール指標とデリーニュ＝ルスティグ多様体のコホモロジーを用いた幾何的実現により、ε(ρ) = 1 を満たす単一部表現から構成される仮想表現 Θ が、すべての既約 W-加群に対して直交する補正項 ξ を除いて R_{M₁} に等しいことを証明する。古典的型では、この補正項が消えるため、Θ = R_{M₁} が成り立つ。

ABSTRACT

For any two involutions y,w in a Weyl group (y\le w), let P_{y,w} be the polynomial defined in [KL]. In this paper we define a new polynomial P^σ_{y,w} whose i-th coefficient is a_i-b_i where the i-th coefficient of P_{y,w} is a_i+b_i (a_i,b_i are natural numbers). These new polynomials are of interest for the theory of unitary representations of complex reductive groups. We present an algorithm for computing these polynomials.

研究の動機と目的

• 再帰的群における単一部表現の構造を、そのフロベニウス＝シュール指標 ε(ρ) ∈ {0,1,−1} を通じて理解すること。
• 仮想表現 ∑ε(ρ)ρ と、デリーニュ＝ルスティグ多様体を用いた W-加群のコホモロジカル実現 R_E の関係を明らかにすること。
• ε(ρ) = 1 を満たす単一部表現の和 Θ が、すべての既約 W-加群に対して直交する補正項を除いて R_{M₁} に等しいことを証明すること。
• 二重セルにおけるワイル群の表現の重複度を用いて、M₁ に現れる既約表現の重複度から、二重セルのサイズを計算すること。

提案手法

• フロベニウス＝シュール指標を単一部表現に適用し、Θ = ∑_{ρ∈U, ε(ρ)=1} ε(ρ)ρ として仮想表現 Θ を定義する。
• 各 W-加群 E に対して、幾何的実現 R_E = |W|⁻¹∑_{w∈W} tr(w,E)∑_i(−1)^i H^i_c(X_w, Q̅_l) を用いる。
• 三つ組 (F,y,r) と単一部表現 ρ_F,y,r 間の全単射を確立し、ε(ρ_F,y,r) = 1 が成り立つのは、|F| ≠ 2 かつ y が r に ±1 で作用する、または |F| = 2 かつ y = 1 の場合に限ることを示す。
• 同型 M₁ ≅ gr M₁ を用いて、Θ = R_{M₁} + ξ が成り立ち、ξ がすべての既約 E に対して R_E と直交することを示す。
• W のセル分解を用いて、M₁^⪯c₁/M^≺c₁ を、E ⊣ c を満たす既約 W-加群 E の直和として解析し、dim(M^⪯c₁/M^≺c₁) = |c ∩ I| を計算する。
• コットヴィッツの研究から既知の重複度 (E:M₁) を用い、|c ∩ I| を明示的に ∑_{E⊣c} (E:M₁)dim(E) として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一部表現 ρ が ε(ρ) = 1 を満たすための明確な条件は何か？
• RQ2 このような表現の和 Θ は、コホモロジカル的特徴 R_{M₁} とどのように関係しているか？
• RQ3 恒等式 Θ = R_{M₁} + ξ における補正項 ξ の性質は何か？
• RQ4 二重セル c と対合の集合 I の共通部分集合 |c ∩ I| の大きさはどのように計算できるか？
• RQ5 補正項 ξ が消える条件は何か？

主な発見

• フロベニウス＝シュール指標 ε(ρ) が 1 であることは、|F| ≠ 2 かつ y が r に ±1 で作用する、または |F| = 2 かつ y = 1 である三つ組 (F,y,r) に対応する単一部表現 ρ であることと同値である。
• ε(ρ) = 1 を満たす単一部表現の和 Θ は、すべての既約 W-加群 E に対して R_E と直交する補正項 ξ を除いて R_{M₁} に等しい。
• 古典的型のワイル群では、補正項 ξ が消えるため、Θ = R_{M₁} が成り立つ。
• F₄ または E₈ 型の W に対しては (ξ,ξ) = 1 であるため、ξ ≠ 0 であるが、すべての R_E に対して直交する。
• 二重セル c における対合の数は、|c ∩ I| = ∑_{E⊣c} (E:M₁)dim(E) で与えられ、ここで (E:M₁) は E の M₁ への重複度を表す。
• この式により、コットヴィッツの研究から得られる既知の重複度を用いて、|c ∩ I| を明示的に計算できる。