[論文レビュー] Hecke algebras with unequal parameters

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2002

Advanced Algebra and Geometry被引用数 42

ひとこと要約

この論文は、等価パラメータの場合のヘッケ代数におけるカジダン＝ルスティグ基底およびセルの理論を、非等価パラメータの場合に拡張する。基礎的な結果を等価パラメータの場合に一般化し、J-環とテンソル圏を用いた新しい枠組みを導入し、分裂型、準分裂型、無限ダイヘドラル型の特殊な場合に予想を証明し、構造定数の幾何的解釈を交線コホモロジーを用いて提示し、 perverse sheaves を用いないアフィンワイル群から代数群を構成する新しい方法を提供する。

ABSTRACT

These are notes for the Aisenstadt lectures given in may/june 2002 at CRM, Montreal, enlarged and updated in 2014 by taking into account the recent results of Elias and Williamson on Soergel bimodules. The main object is the study of Iwahori-Hecke algebras arising from reductive groups over finite or p-adic fields. We try to extend various results known in the equal parameter case to the case of not necessarily equal parameters.

研究の動機と目的

• ヘッケ代数におけるカジダン＝ルスティグ基底およびセルの理論を、等価パラメータから非等価パラメータの場合に一般化すること。
• 重み付きコクセター群の設定において、J-環とテンソル圏の枠組みを確立すること。
• perverse sheaves を用いないアフィンワイル群から単純代数群を構成する新しい代数的構成法を提供すること。
• 非等価パラメータの場合のセル、a関数、構造定数に関する予想を定式化し、証拠を提示すること。
• 重み付きコクセター群における両側セルが、長さ関数を備えたより大きな非重み付き群におけるそれらとどのように関係するかを示す予想（25.3）を提示すること。

提案手法

• 重み関数 L:W→Z を持つ重み付きコクセター群上の Iwahori-Hecke 代数を生成子と関係式によって定義する。
• バー作用素を適用し、双対性条件を用いて新しい基底 (cw) を構成し、等価パラメータの場合に一般化する。
• J-環をグローテンディーク群の一般化として導入し、非単位的環を許容し、単位的環への埋め込みを可能にする。
• J-環のテンソル圏版を発展させ、交線コホモロジーを用いないアフィンワイル群から代数群を構成する。
• 準分裂型では Soergel モジュール理論を、無限ダイヘドラル型では直接計算を用いて予想を検証する。
• 構造定数 py,w に対して、Fq 上の代数的多様体の交線コホモロジーを用いた幾何的解釈を提示し、[KL2] を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カジダン＝ルスティグ基底およびセルの理論を、非等価パラメータを持つヘッケ代数にどのように拡張できるか？
• RQ2 非等価パラメータ設定における a関数およびセルの役割は何か？ また、表現論とどのように関係するか？
• RQ3 アフィンワイル群から perverse sheaves を用いないで単純代数群を構成できるか？
• RQ4 重み付きコクセター群における両側セルは、長さ関数を備えたより大きな非重み付きコクセター群におけるそれらとどのように関係するか？
• RQ5 非等価パラメータの場合における構造定数 py,w の幾何的意味は何か？

主な発見

• J-環の構成が非単位的設定に一般化され、単位的環への埋め込み方法が得られ、代数的演算が可能になった。
• J-環のテンソル圏版を用いて、 perverse sheaves を避ける方法でアフィンワイル群から単純代数群を構成する新しい方法が得られた。
• セルおよび a関数に関する予想は、分裂型（§15）、準分裂型（§16）では Soergel モジュールを用い、無限ダイヘドラル型（§17）では直接計算により検証された。
• 新しい基底の構造定数 py,w は、Fq 上の代数的多様体の交線コホモロジーのベッチ数として解釈されると予想され、[KL2] を一般化する。
• 2つのパラボリック部分群の場合、新しい基底の振る舞いが二重コセットを用いて分析され、§9で新たな結果が得られた。
• コクセター群 W に制限された重み関数 L が、W, S に対して有効な重み関数であることが示され、ある条件下で ˜l(wI₀w) = ˜l(wI₀) + ˜l(w) が成り立つことが証明され、重要な技術的補題（A.9）が得られた。