[論文レビュー] Hecke C*-algebras, Schlichting completions, and Morita equivalence

S. Kaliszewski, Magnus B. Landstad+1 more|ArXiv.org|Nov 13, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Hecke C*-代数を位相的・作用素代数的ツールを用いて研究するためのシュリヒティング完成を導入する。Hecke代数 ℋ を、コンパクト開部分群 Ḣ の特性関数 p によって定まる、完全不連結群 Ḡ の群 C*-代数 C*(Ḡ) のコーナー代数 pC*(Ḡ)p に埋め込む。主な貢献は、FellのおよびRieffelの不変理論を用いて、ℋ の C*-完成が pC*(Ḡ)p と一致する条件を確立し、C*(Ḡ) と Morita同値であることを示すことである。この結果は、半直積群や PSL(2,ℚq) などの例に応用可能である。

ABSTRACT

The Hecke algebra H(G,H) of a Hecke pair (G,H) is studied using the Schlichting completion (G',H'), which is a Hecke pair whose Hecke algebra is isomorphic to H(G,H) and which is topologized so that H' is a compact open subgroup of G'. In particular, the representation theory and C*-completions of H(G,H) are addressed in terms of the projection p in C*(G') corresponding to the characteristic function of H', using both Fell's and Rieffel's imprimitivity theorems and the identity H(G,H) = p C_c(G') p. An extended analysis of the case where H is contained in a normal subgroup of G (and in particular the case where G is a semidirect product) is carried out, and several specific examples are analyzed using this approach.

研究の動機と目的

• Hecke代数の表現論と C*-完成を、位相的および作用素代数的ツールを用いて体系的に分析するフレームワークを構築すること。
• 特に、関連する群が非ヒルベルト的である場合に、Hecke代数が普遍 C*-完成を持たないという問題に対処すること。
• Hecke C*-代数がシュリヒティング完成 (Ḡ, Ḣ) の群 C*-代数におけるコーナー代数 pC*(Ḡ)p と同型である条件を確立すること。
• C*(Ḡ) における射影 p がフルである条件を明確にし、pC*(Ḡ)p と C*(Ḡ) の間の Morita-Rieffel同値性を導くこと。
• 半直積の場合の Hecke C*-代数を、半群作用や交叉積構成に依存せずに、直接計算する新しいアプローチを提供すること。

提案手法

• Hecke対 (G, H) のシュリヒティング完成 (Ḡ, Ḣ) を、有限商の逆極限として構成し、Ḡ における Ḣ がコンパクト開部分群となるようにする。
• ℋ を、p = χ_Ḡ（Ḡ における Ḣ の特性関数）によって定まるコーナー代数 pC_c(Ḡ)p と同一視する。
• Fellの不変理論を用いて、ℋ の正の表現を、ある双加群構造を通じて G の表現と関連付ける。
• Rieffelの不変理論を適用し、pC*(Ḡ)p が C*(Ḡ) のイデアル Ḃ = C*(Ḡ)pC*(Ḡ) と Morita-Rieffel同値であることを示す。
• G に H を含む正規部分群が存在する場合、および半群 T = {t ∈ G | tHt⁻¹ ⊇ H} に対して G = T⁻¹T が成り立つ場合に、ℋ の C*-完成が pC*(Ḡ)p と一致することを特徴づける。
• Gelfandスペクトルと pL¹(Ḡ)p の表現論を用いて、PSL(2,ℚq) や Iwahori部分群などの具体的な例を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hecke代数の C*-完成が、シュリヒティング完成の群 C*-代数におけるコーナー代数 pC*(Ḡ)p と同型である条件は何か？
• RQ2 射影 p = χ_Ḡ が C*(Ḡ) でフルであるのはいつか？ これにより pC*(Ḡ)p と C*(Ḡ) が Morita-Rieffel同値となる。
• RQ3 G = T⁻¹T（T = {t ∈ G | tHt⁻¹ ⊇ H}）という有向性条件が、ℋ が pC*(Ḡ)p と同型な C*-完成を持つことを完全に特徴づけるか？
• RQ4 半直積群の場合に、半群作用や交叉積構成に依存せずに、Hecke C*-代数を直接計算できるか？
• RQ5 pC*(Ḡ)p が可換である場合（例えば PSL(2,ℚq) の場合）、pC*(Ḡ)p の Gelfand スペクトルと Hecke代数の C*-完成との関係は何か？

主な発見

• PSL(2,ℚq), PSL(2,ℤq) の Hecke対に対して、シュリヒティング完成は (Ḡ, Ḣ) = (PSL(2,ℚq), PSL(2,ℤq)) を与え、Hecke代数 ℋ は多項式環 ℂ[z + 1/z] と同型であり、したがって普遍 C*-完成を持たない。
• ℋ の文字 π_z は、z ≠ 1 のとき π_z(φ_m) = [(1 - qz)/(q+1)(1 - z)](z/q)^m + [(q - z)/(q+1)(1 - z)](1/(qz))^m で与えられ、z = 1 のときは π_1(φ_m) = [2m(q-1) + q + 1]/[(q+1)q^m] である。
• 代数 pL¹(Ḡ)p は可換であり、非ヒルベルト的である。なぜなら、自己随伴でない文字を許容するからであり、z ∈ [−q, −1/q] のとき C*(pL¹(Ḡ)p) ≠ pC*(Ḡ)p であると予想されている。
• |z| が 1/q ≤ |z| ≤ q の範囲にあるとき、文字 π_z は PSL(2,ℚq) の補充系列の表現から生じ、|z| = 1 のときは主系列から生じる。
• Iwahori部分群の例では、有向性条件 G = T⁻¹T を仮定せずとも、ℋ-表現の正性が示された。これは、定理6.4の逆が成り立たないことを示している。
• ℋ が可換である場合、例えば PSL(2,ℚq) の場合、イデアル Ḃ = C*(Ḡ)pC*(Ḡ) は連続的トレースを持ち、Dixmier-Douady不変量が自明であるため、liminal である。