[論文レビュー] Heegaard Floer homologies and contact structures

Peter Ozsváth, Zoltán Szabó|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 64

ひとこと要約

本稿は、開本分解と絡みのフローリエホモロジーを用いて、閉じた向き付け可能な3次元多様体におけるヘーガードフロイアー homology 内の接触不変量を構成する。この不変量は、ねじれ付き接触構造では消え、スティン可解な構造では非ゼロであることを示し、フロイアー理論的手段によるきつい構造および可解性の強力な障害を確立する。

ABSTRACT

Given a contact structure on a closed, oriented three-manifold $Y$, we describe an invariant which takes values in the three-manifold's Floer homology $\HFa$. This invariant vanishes for overtwisted contact structures and is non-zero for Stein fillable ones. The construction uses of Giroux's interpretation of contact structures in terms of open book decompositions, and the knot Floer homologies introduced in math.GT/0209056.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能な3次元多様体におけるヘーガードフロイアー homology 内の接触不変量を定義すること。
• 不変量がねじれ付き接触構造に対して消えることを確立すること。
• 不変量がスティン可解な接触構造に対して非ゼロであることを証明すること。
• 不変量が3次元多様体の ${\mathrm{Spin}}^{c}$ 構造および絶対的グレーディングとどのように関係するかを明らかにすること。
• きつい構造および可解性に対するフロイアー理論的障害を提供すること。

提案手法

• 接触構造と開本分解の間のジルーソの対応を用い、表面上のモノドロミーによる接触構造の表現を行う。
• 絡みのフロイアーhomologyを用いて、ファイバー化された絡みに対応するヘーガードフロイアー複体上のフィルトレーションを定義する。
• ファイバー化された絡みの genus $ g $ に対し、フィルトレーションレベル $ -g $ の部分複体から、自然な元 $ c(K) \in \widehat{HF}(-Y) $ を構成する。
• デーン回転およびハンドル付加によって誘導されるコボルディズムを用い、フロイアー写像の自然性の性質を活用して不変量を転送する。
• スケルピンクの正確三角形と $ HF^+ $ 内の $ U $-作用を用いて、手術における不変量の単射性および非自明性を分析する。
• レフシェッツファイブレーション上の標準的 ${\mathrm{Spin}}^{c}$ 構造を用いて、不変量の絶対的グレーディングを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開本分解と絡みのフロイアーhomologyを用いて、ヘーガードフロイアーhomology内の接触不変量を構成できるか？
• RQ2 不変量はねじれ付き接触構造に対して消えるか？
• RQ3 不変量はスティン可解な接触構造に対して非ゼロか？
• RQ4 不変量は3次元多様体の ${\mathrm{Spin}}^{c}$ 構造および絶対的グレーディングとどのように関係するか？
• RQ5 不変量は3次元多様体におけるきつさおよび可解性を検出できるか？

主な発見

• 接触不変量 $ c(\xi) \in \widehat{HF}(-Y) $ は符号を除いて一意に定まり、ねじれ付き接触構造では消える。
• スティン可解な接触構造に対して不変量は非ゼロであることが、コボルディズム写像および $ S^3 $ 内の単位絡みに対する不変量の非消滅性により示された。
• 不変量は $ \widehat{HF}(-Y) $ の $ \mathfrak{s}(\xi) $ 成分に支持され、ここで $ \mathfrak{s}(\xi) $ は接触構造によって誘導される ${\mathrm{Spin}}^{c}$ 構造である。
• 不変量の絶対的グレーディングは、接触構造の古典的不変量 $ h(\xi) $ で与えられる。
• 3次元多様体 $ Y $ に対して $ HF^+_{\mathrm{red}}(Y) = 0 $ かつファイバー化された絡みの genus $ g > 1 $ であるとき、$ -1 $-手術による接触構造はきつい。
• 不変量は直和および左側のデーン回転によるモノドロミーの変更に関して保存され、同じ接触構造の開本表現間で一貫性を保つ。