[論文レビュー] Heffter Arrays and Biembedding Graphs on Surfaces

Dan Archdeacon|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ホイッターマトリクスを組合せ論的構造として導入し、それによってカレントグラフを構成可能とし、その結果、完全グラフおよび完全マルチグラフの可定向および非可定向な二重埋め込みを実現する。主な貢献は、ホイッターマトリクス $ H(m,n;s,t) $ における適合する順序付けが、各色クラスが指定されたサイズ $ s $ および $ t $ のサイクル系を形成し、順序付けが単純である場合には単純な面境界を持つ $ K_{2ms+1} $ の面2色塗り分け埋め込みをもたらすという定理の証明である。

ABSTRACT

A Heffter array is an m by n matrix with nonzero entries from Z_{2mn+1} such that i) every row and column sum to 0, and ii) no element from {x,-x} appears twice. We construct some Heffter arrays. These arrays are used to build current graphs used in topological graph theory. In turn, the current graphs are used to embed the complete graph K_{2mn+1} so that the faces can be 2-colored, called a biembedding. Under certain conditions each color class forms a cycle system. These generalize biembeddings of Steiner triple systems. We discuss some variations including Heffter arrays with empty cells, embeddings on nonorientable surfaces, complete multigraphs, and using integer in place of modular arithmetic.

研究の動機と目的

• ホイッターマトリクス、カレントグラフ、および完全グラフの面上への位相的埋め込みとの間の関係を確立すること。
• スティーナー三重系の二重埋め込みを一般化し、面境界が $ s $-および $ t $-サイクル系を形成する埋め込みを構築すること。
• 非可定向な曲面、空セル、マルチグラフ、およびモジュラ算術の代わりに整数算術を含むさまざまな変種を検討すること。
• 面境界が単純なサイクルである条件、特に行および列系における単純な順序付けの使用によるものを探ること。
• さまざまなパrameter制約下でのホイッターマトリクスの存在に関する予想を提示・支持すること、特に整数およびシフト可能マトリクスを含む。

提案手法

• ホイッターマトリクス $ H(m,n;s,t) $ を、$ \mathbb{Z}_{2ms+1} $ からの要素をもつ $ m \times n $ 行列として定義し、各行および各列の和が $ 2ms+1 $ を法として0に等しく、かつ $ \{x, -x\} $ のペアが2度以上現れないこととする。
• 行列のセルに対して適合する順序付け $ \omega_r $ および $ \omega_c $ を導入し、これにより得られる埋め込みにおける面境界が単純なサイクルとなるように保証する。
• このマトリクスを用いて完全二部グラフ $ K_{m,n} $ にカレント割り当てを定義し、そのカレントグラフを用いて $ K_{2ms+1} $ の可定向埋め込みを構成する。
• カレントグラフの構成を適用し、$ K_{2ms+1} $ を埋め込み、面を2色に塗り分け、各色クラスがそれぞれサイズ $ s $ および $ t $ のサイクル系を形成するようにする。
• 非可定向な曲面に対し、弱ホイッターマトリクスを用い、$ \lambda $-重サイクル系を用いて完全マルチグラフ $ K_n^\lambda $ を扱うように構成を拡張する。
• 整数ホイッターマトリクス（整数上でのゼロ和）およびバランスの取れた正負の要素をもつシフト可能マトリクスを導入し、構成およびパrameter解析を容易にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイッターマトリクス $ H(m,n;s,t) $ が適合する順序付けをもつ場合、その結果得られる $ K_{2ms+1} $ の埋め込みにおいて、すべての面が単純なサイクルである条件は何か？
• RQ2 ホイッターマトリクスを用いて、面2色塗り分けおよび $ \lambda $-重サイクル系をもつ完全マルチグラフ $ K_n^\lambda $ の二重埋め込みを構築できるか？
• RQ3 整数またはシフト可能ホイッターマトリクスの存在に必要な算術的条件は $ m, n, s, t $ に関してどのようなものか？
• RQ4 アルスパッチの予想が正しく、常にホイッターシステムの各部分に単純な順序付けを見つけることができるか？ そして、これは面境界の単純性にどのように影響するか？
• RQ5 すべての $ m,n \geq 3 $ に対してホイッターマトリクスが存在するか？ また、どのような条件下で整数またはシフト可能マトリクスとなるか？

主な発見

• 定理1.1は、適合する単純な順序付け $ \omega_r $ および $ \omega_c $ をもつホイッターマトリクス $ H(m,n;s,t) $ が、面サイズが $ s $ および $ t $ で、すべての面が単純なサイクルである可定向な二重埋め込みを $ K_{2ms+1} $ に与えることを確立している。
• すべての $ m,n \geq 3 $ に対してホイッターマトリクス $ H(m,n) $ が存在する。整数ホイッターマトリクスは $ mn \equiv 0,3 \pmod{4} $ のとき存在し、シフト可能マトリクスは $ m,n $ が偶数で4以上であるとき存在する。
• 補題6.1は、整数ホイッターマトリクス $ H(m,n;s,t) $ が存在するためには $ ms \equiv 0,3 \pmod{4} $ でなければならないことを示している。補題6.2は、シフト可能マトリクスがさらに $ s,t \geq 4 $ で偶数であり、$ ms \equiv 0 \pmod{4} $ でなければならないことを制限する。
• この構成は、スティーナー三重系（STS）の二重埋め込みを $ s $-および $ t $-サイクル系へ一般化し、$ n \equiv 5,7 \pmod{12} $ のとき三角形の二重埋め込みが存在することは既知であることを拡張する。
• 本稿は、予想6.4の裏付けを提供しており、すべての $ m,n \geq 3 $ に対してホイッターマトリクス $ H(m,n) $ が存在すると示唆している。証明は準備中であり、構成用のコンピュータプログラムも提供されている。
• 著者らは、サイズ25までの集合についてアルスパッチの単純順序付けに関する予想を検証し、単純な面境界を持つ埋め込みの構成可能性を支持している。