[論文レビュー] Height functions on Whitney umbrellas

Toshizumi Fukui, Masaru Hasegawa|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ホイットニーのパラソル（二重点を持つクロスキャップ）上の高さ関数の特異点を調査し、その高さ関数の族が普遍展開であることを証明する。また、特異点を有する点を通る超平面とホイットニーのパラソルの局所的交差型は、高さ関数の特異点型によって決定され、特に二重点軌跡の接線を含む超平面では、パrameter空間内での高さ関数の零点集合と二重点集合の接触位数によっても決定されることを示す。主な結果として、正則な曲面におけるモンタルディの定理に類似した交差特異点の分類が得られる。

ABSTRACT

We study the singularities of the members of the family of height functions on Whitney umbrellas, which is also known as cross-caps, and show that the family of the height functions is a versal unfolding. Moreover, we study local intersections of a Whitney umbrella with a hyperplane through its singular point.

研究の動機と目的

• ホイットニーのパラソル上での高さ関数の特異点を、主曲率、リッジ、準放物線線などの微分幾何的不変量を用いて分析すること。
• ホイットニーのパラソル上での高さ関数の族が普遍展開であることを証明し、微小摂動のもとですべての可能な特異点型がカバーされることを保証すること。
• ホイットニーのパラソルとその特異点を通り抜ける超平面との局所的交差型を分類すること、特に超平面が二重点軌跡の接線方向を含むか否かに注目すること。
• 標準的手法が特異点で非正則となるホイットニーのパラソルの特異的設定において、曲面と超平面の接触理論を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、平面の二重有向ブロー・アップ $\widetilde{\Pi}: \mathbb{R} \times S^1 \to \mathbb{R}^2$ を用い、特異点を解消し、得られるメービウスの帯 $\mathcal{M}$ 上で良好に定義された単位法線ベクトル場を定義する。
• 特異点に対応する例外集合 $E = \Pi^{-1}(0,0)$ の近傍における $\mathcal{M}$ 上の主曲率および主方向の漸近的挙動を分析する。
• 高さ関数 $h_{\mathbf{w}}$ は方向 $\mathbf{w} \in S^2$ への直交射影として定義され、その特異点はジェット展開および標準形解析を用いて研究される。
• パrameter空間内での零点集合 $h^{-1}(0)$ は、特にジェット理論的技法と座標変換を用いて、標準特異点型に還元することで、二重点軌跡 $\mathcal{D}$ との接触を分析する。
• 回転 $T$ を用いて、高さ関数の零点集合を座標平面に一致させ、既知の平面曲線の $A_k$-特異点に関する結果を適用可能にする。
• 交差特異点の分類は、交差曲線の $2k$-ジェットを標準形と比較することに依拠し、$k$ の偶奇に応じて $A_k$ または $A_k^{\pm}$ 型に区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイットニーのパラソル上での高さ関数の特異点は、主曲率やリッジといった微分幾何的不変量とどのように関係しているか？
• RQ2 ホイットニーのパラソル上での高さ関数の族は普遍展開であるか？ すなわち、微小摂動のもとですべての可能な特異点型をカバーしているか？
• RQ3 ホイットニーのパラソルとその特異点を通り抜ける超平面との局所的交差型は、何によって決定されるか？
• RQ4 超平面が二重点軌跡の接線方向を含むか否かが、交差の特異点型にどのように影響するか？
• RQ5 超平面が $\mathcal{D}$ の接線を含む場合、パrameter空間内での高さ関数の零点集合と二重点軌跡の接触が、交差特異点の分類にどのように利用できるか？

主な発見

• ホイットニーのパラソル上での高さ関数の族は普遍展開である。これは、特異点近傍で高さ関数のすべての可能な特異点型が実現されることを意味する。
• 超平面 $\mathcal{P}_{\mathbf{w}_0}$ が二重点軌跡 $\mathcal{D}$ の接線を含まない場合、高さ関数が $A_{2k-1}$ 型特異点を持つならば、局所的交差は $A_{2k}$ 特異点を示す。
• 超平面 $\mathcal{P}_{\mathbf{w}_0}$ が $\mathcal{D}$ の接線を含む場合、交差特異点は高さ関数の特異点型と、パrameter空間内での $h^{-1}(0)$ と $\mathcal{D}$ の接触位数の両方によって決定される。
• $k \geq 1$ に対して、高さ関数が非退化な $A_{2k-1}$ 型特異点を持ち、かつ超平面が $\mathcal{D}$ の接線を含む場合、交差は $k$ の偶奇に応じて $A_{k+2}$ または $A_{k+2}^{\pm}$ 特異点を示す。
• 高さ関数が原点で非特異（$A_1$）である場合、$\mathcal{D}$ の接線を含む超平面との交差は $A_2$ 特異点を示す。
• 本稿では交差特異点の完全な分類が与えられ、ホイットニーのパラソルとその特異点を通り抜ける超平面の局所的交差が、ジェット次数および接触条件に応じて $A_k$ または $A_k^{\pm}$ 特異点を持つ曲線と微分同相であることが示された。